Seja T: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2} dada por
T(x, y)=(2 x+y, x-y) .
Calcule T(1,2) e T(0,1).

Passo 1

O enunciado nos dá uma transformação T:\mathbb{R}^{2}\to\mathbb{R}^{2} definida por
T(x,y)=(2x+y,\;x-y).
O que nos pedem é calcular os valores de T nos vetores (1,2) e (0,1). Ou seja, precisamos encontrar explicitamente:
  • T(1,2),
  • T(0,1).

Passo 2

Como interpretar a definição de T. A definição diz que, para qualquer par de números (x,y), a imagem é o par (2x+y,\;x-y). Isso significa que para calcular T(a,b) basta substituir x=a e y=b nas expressões dos dois componentes e simplificar.
Vamos aplicar essa ideia passo a passo para cada vetor pedido.

Passo 3

Cálculo de T(1,2): substituímos x=1 e y=2 na fórmula (2x+y,\;x-y).
Primeiro componente:
2x+y = 2\cdot 1 + 2 = 2 + 2 = 4.
Segundo componente:
x-y = 1 - 2 = -1.
Portanto,
T(1,2) = (4,\,-1).

Passo 4

Cálculo de T(0,1): substituímos x=0 e y=1.
Primeiro componente:
2x+y = 2\cdot 0 + 1 = 0 + 1 = 1.
Segundo componente:
x-y = 0 - 1 = -1.
Portanto,
T(0,1) = (1,\,-1).

Passo 5

Checagem alternativa (opcional, para fixar a ideia): escrever T como multiplicação por matriz. A transformação corresponde à matriz cujas colunas são as imagens dos vetores canônicos:
A=\begin{pmatrix}2 & 1\\[4pt]1 & -1\end{pmatrix},
pois
A\begin{pmatrix}x\\[2pt]y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2x+y\\[4pt]x-y\end{pmatrix}.
Multiplicando A pelos vetores dados confirma os resultados:
A\begin{pmatrix}1\\[2pt]2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2\cdot 1 + 1\cdot 2\\[4pt]1\cdot 1 + (-1)\cdot 2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4\\[4pt]-1\end{pmatrix}, \qquad A\begin{pmatrix}0\\[2pt]1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2\cdot 0 + 1\cdot 1\\[4pt]1\cdot 0 + (-1)\cdot 1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\[4pt]-1\end{pmatrix}.]

Resposta

T(1,2)=(4,-1)
T(0,1)=(1,-1)

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