Determine o núcleo e a imagem da transformação
T(x, y, z)=(x+y, y+z)

Passo 1

O enunciado dá a transformação T:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^2 definida por
T(x,y,z)=(x+y,\;y+z).
O que é pedido:
  • Determinar o núcleo de T (o conjunto de vetores em \mathbb{R}^3 que vão para o vetor nulo em \mathbb{R}^2).
  • Determinar a imagem de T (o subespaço de \mathbb{R}^2 formado por todos os vetores que aparecem como T(v) para algum v\in\mathbb{R}^3).
Informações relevantes que já temos: a fórmula explícita de T permite escrever as duas equações componentes
\text{primeira componente: } x+y,\qquad \text{segunda componente: } y+z.

Passo 2

O que é o núcleo e como encontrá-lo (aula rápida).
  • Definição: o núcleo de T é \ker(T)=\{v\in\mathbb{R}^3:\;T(v)=0\}, onde 0 é o vetor nulo em \mathbb{R}^2.
  • Na prática, para encontrar \ker(T) substitui-se T(x,y,z)=(0,0) e resolve-se o sistema de equações resultante.
  • Cada variável do vetor de entrada aparece nas equações; ao resolver vamos expressar as coordenadas em função de parâmetros livres e então escrever o núcleo como um subespaço gerado por vetores (span).

Passo 3

Resolver as equações para achar \ker(T)\). - Colocar \(T(x,y,z)=(0,0)\) dá o sistema \[\begin{cases} x+y=0,\\[4pt] y+z=0. \end{cases}
  • Resolver passo a passo: da primeira equação vem x=-y\]. Da segunda vem \(z=-y.
  • Introduzo um parâmetro para y: seja t=y\in\mathbb{R}. Então
x=-t,\qquad y=t,\qquad z=-t.
  • Escrevendo o vetor em função de t:
(x,y,z)=(-t,t,-t)=t(-1,1,-1).
  • Conclusão: todos os vetores do núcleo são múltiplos de (-1,1,-1). Em termos de subespaço,
\ker(T)=\operatorname{span}\{(-1,1,-1)\}.
  • Dimensão do núcleo (nullidade): \dim(\ker(T))=1 porque é gerado por um único vetor não-nulo.]

Passo 4

O que é a imagem e como encontrá-la (mini-aula).
  • Definição: \operatorname{Im}(T)=\{T(v): v\in\mathbb{R}^3\}\subseteq\mathbb{R}^2.
  • Método prático: calcular as imagens dos vetores da base canônica de \mathbb{R}^3 (ou escrever a matriz de T e usar suas colunas). As imagens dos vetores da base geram a imagem de T.

Passo 5

Calcular a imagem explicitamente.
  • Imagens dos vetores da base canônica:
    • T(1,0,0)= (1+0,\;0+0) = (1,0).
    • T(0,1,0)= (0+1,\;1+0) = (1,1).
    • T(0,0,1)= (0+0,\;0+1) = (0,1).
  • Portanto
\operatorname{Im}(T)=\operatorname{span}\{(1,0),\;(1,1),\;(0,1)\}.
  • Note que (1,1)=(1,0)+(0,1), então os três vetores não são necessários: os vetores (1,0) e (0,1) já geram os outros.
  • Logo
\operatorname{Im}(T)=\operatorname{span}\{(1,0),(0,1)\}.
  • Como \{(1,0),(0,1)\} é a base padrão de \mathbb{R}^2, concluímos que
\operatorname{Im}(T)=\mathbb{R}^2.
  • Dimensão da imagem (posto): \dim(\operatorname{Im}(T))=2.

Passo 6

Verificação rápida via teorema posto-nulidade (checagem útil para prova).
  • Teorema (posto-nulidade): para uma transformação linear T:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^m,
\dim(\ker(T))+\dim(\operatorname{Im}(T))=n.
  • Aqui n=3. Encontramos \dim(\ker(T))=1 e \dim(\operatorname{Im}(T))=2, e 1+2=3, consistente com o teorema — ótimo sinal de que não erramos.

Resposta

\ker(T)=\operatorname{span}\{(-1,1,-1)\}
\operatorname{Im}(T)=\mathbb{R}^2

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