Determine o núcleo e a imagem da transformação
Passo 1
O enunciado dá a transformação
definida por
O que é pedido:
- Determinar o núcleo de
(o conjunto de vetores em que vão para o vetor nulo em ). - Determinar a imagem de
(o subespaço de formado por todos os vetores que aparecem como para algum ).
Informações relevantes que já temos: a fórmula explícita de
permite escrever as duas equações componentes
Passo 2
O que é o núcleo e como encontrá-lo (aula rápida).
- Definição: o núcleo de
é , onde é o vetor nulo em . - Na prática, para encontrar
substitui-se e resolve-se o sistema de equações resultante. - Cada variável do vetor de entrada aparece nas equações; ao resolver vamos expressar as coordenadas em função de parâmetros livres e então escrever o núcleo como um subespaço gerado por vetores (span).
Passo 3
Resolver as equações para achar
- Resolver passo a passo: da primeira equação vem .
- Introduzo um parâmetro para
: seja . Então
- Escrevendo o vetor em função de
:
- Conclusão: todos os vetores do núcleo são múltiplos de
. Em termos de subespaço,
- Dimensão do núcleo (nullidade):
porque é gerado por um único vetor não-nulo.]
Passo 4
O que é a imagem e como encontrá-la (mini-aula).
- Definição:
. - Método prático: calcular as imagens dos vetores da base canônica de
(ou escrever a matriz de e usar suas colunas). As imagens dos vetores da base geram a imagem de .
Passo 5
Calcular a imagem explicitamente.
- Imagens dos vetores da base canônica:
-
. -
. -
.
-
- Portanto
- Note que
, então os três vetores não são necessários: os vetores e já geram os outros. - Logo
- Como
é a base padrão de , concluímos que
- Dimensão da imagem (posto):
.
Passo 6
Verificação rápida via teorema posto-nulidade (checagem útil para prova).
- Teorema (posto-nulidade): para uma transformação linear
,
- Aqui
. Encontramos e , e , consistente com o teorema — ótimo sinal de que não erramos.