Determine se a transformação
T(x, y)=(x, 0)
é injetiva, sobrejetiva ou bijetiva.

Passo 1

O enunciado dá a transformação T definida por
T(x,y)=(x,0).
Vou assumir que o domínio e o contradomínio são \mathbb{R}^2, ou seja, T:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2.
A pergunta é: a transformação é injetiva, sobrejetiva ou bijetiva?
Informações relevantes fornecidas:
  • A regra de leitura de T é retirar a segunda coordenada e substituir por 0: (x,y)\mapsto(x,0).
  • Não há mais restrições dadas no enunciado.

Passo 2

Definição de injetividade (explicação didática):
Uma função T é injetiva se pontos diferentes no domínio sempre dão imagens diferentes no contradomínio. Formalmente,
T \text{ é injetiva} \iff \forall u,v\in\mathbb{R}^2,\\ T(u)=T(v)\Rightarrow u=v.é
Intuição: não pode haver dois vetores distintos que “caem” no mesmo vetor imagem.

Passo 3

Teste de injetividade aplicado ao T: suponha que
T(x_1,y_1)=T(x_2,y_2).
Então
(x_1,0)=(x_2,0).
Isso implica \;x_1=x_2\; (pela igualdade das primeiras coordenadas), mas não impõe nenhuma condição sobre y_1 e y_2: eles podem ser diferentes. Portanto existe a possibilidade de (x_1,y_1)\neq(x_2,y_2) mesmo com imagens iguais. Um contraexemplo explícito:
T(1,0)=(1,0)=T(1,1),
mas (1,0)\neq(1,1). Logo T não é injetiva.

Passo 4

Definição de sobrejetividade (explicação didática):
Uma função T:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2 é sobrejetiva se para todo vetor do contradomínio existe pelo menos um vetor no domínio que o envia para ele. Formalmente,
T \text{ é sobrejetiva} \iff \forall w\in\mathbb{R}^2,\\ \exists v\in\mathbb{R}^2:\\ T(v)=w.é
Intuição: a imagem de T deve “cobrir” todo o contradomínio.

Passo 5

Teste de sobrejetividade aplicado ao T: seja um vetor qualquer do contradomínio (a,b)\in\mathbb{R}^2. Para existir (x,y) tal que T(x,y)=(a,b) precisamos ter
(x,0)=(a,b).
Isso impõe x=a e 0=b. Portanto só há pré-imagem quando b=0. Se escolhermos, por exemplo, (0,1)\in\mathbb{R}^2, não existe (x,y) com T(x,y)=(0,1) porque a segunda coordenada imagem é sempre 0. Logo a imagem de T é apenas o eixo x, isto é
\operatorname{Im}T=\{(x,0)\mid x\in\mathbb{R}\},
que é um subconjunto próprio de \mathbb{R}^2. Portanto T não é sobrejetiva.

Passo 6

Interpretação linear (dica útil para a prova): T pode ser vista como uma transformação linear com matriz (na base canônica)
A=\begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt]0 & 0\end{pmatrix}.
O posto de A é 1, menor que 2, logo a transformação tem núcleo não trivial e imagem de dimensão 1. Isso confirma: não é injetiva (núcleo contém vetores não-nulos) e não é sobrejetiva (imagem tem dimensão menor que do contradomínio). Também segue que T não é bijetiva.]

Passo 7

Resumo intuitivo final e incentivo: geometricamente T projeta todo \mathbb{R}^2 sobre o eixo x (elimina a informação da segunda coordenada). Por isso várias posições diferentes no domínio vão para a mesma posição no eixo x (não injetiva) e pontos fora do eixo x no contradomínio nunca aparecem como imagens (não sobrejetiva). Dá pra usar esse raciocínio rápido na prova quando vir transformações que “zeram” alguma coordenada — já acende o alerta de não ser bijetiva. Força aí, já tá ficando mais fácil!

Resposta

Não é injetiva, não é sobrejetiva, portanto não é bijetiva.

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