Determine se a transformação
é injetiva, sobrejetiva ou bijetiva.
Passo 1
O enunciado dá a transformação
definida por
Vou assumir que o domínio e o contradomínio são
, ou seja,
.
A pergunta é: a transformação é injetiva, sobrejetiva ou bijetiva?
Informações relevantes fornecidas:
A pergunta é: a transformação é injetiva, sobrejetiva ou bijetiva?
Informações relevantes fornecidas:
- A regra de leitura de
é retirar a segunda coordenada e substituir por : . - Não há mais restrições dadas no enunciado.
Passo 2
Definição de injetividade (explicação didática):
Uma função é injetiva se pontos diferentes no domínio sempre dão imagens diferentes no contradomínio. Formalmente,
Uma função
Intuição: não pode haver dois vetores distintos que “caem” no mesmo vetor imagem.
Passo 3
Teste de injetividade aplicado ao
: suponha que
Então
Isso implica
(pela igualdade das primeiras coordenadas), mas não impõe nenhuma condição sobre
e
: eles podem ser diferentes. Portanto existe a possibilidade de
mesmo com imagens iguais. Um contraexemplo explícito:
mas
. Logo
não é injetiva.
Passo 4
Definição de sobrejetividade (explicação didática):
Uma função é sobrejetiva se para todo vetor do contradomínio existe pelo menos um vetor no domínio que o envia para ele. Formalmente,
Uma função
Intuição: a imagem de
deve “cobrir” todo o contradomínio.
Passo 5
Teste de sobrejetividade aplicado ao
: seja um vetor qualquer do contradomínio
. Para existir
tal que
precisamos ter
Isso impõe
e
. Portanto só há pré-imagem quando
. Se escolhermos, por exemplo,
, não existe
com
porque a segunda coordenada imagem é sempre
. Logo a imagem de
é apenas o eixo
, isto é
que é um subconjunto próprio de
. Portanto
não é sobrejetiva.
Passo 6
Interpretação linear (dica útil para a prova):
pode ser vista como uma transformação linear com matriz (na base canônica)
O posto de
é
, menor que
, logo a transformação tem núcleo não trivial e imagem de dimensão
. Isso confirma: não é injetiva (núcleo contém vetores não-nulos) e não é sobrejetiva (imagem tem dimensão menor que do contradomínio). Também segue que
não é bijetiva.]
Passo 7
Resumo intuitivo final e incentivo: geometricamente
projeta todo
sobre o eixo
(elimina a informação da segunda coordenada). Por isso várias posições diferentes no domínio vão para a mesma posição no eixo
(não injetiva) e pontos fora do eixo
no contradomínio nunca aparecem como imagens (não sobrejetiva). Dá pra usar esse raciocínio rápido na prova quando vir transformações que “zeram” alguma coordenada — já acende o alerta de não ser bijetiva. Força aí, já tá ficando mais fácil!
Resposta
Não é injetiva, não é sobrejetiva, portanto não é bijetiva.