Seja
a função definida por:
(a) Verifique que
é uma transformação linear.
(b) A transformação linear dada é injetiva ou sobrejetiva?
(b) A transformação linear dada é injetiva ou sobrejetiva?
Passo 1
O enunciado dá a transformação
definida por
O que é pedido:
- (a) Verificar que
é uma transformação linear. - (b) Dizer se
é injetiva e/ou sobrejetiva.
Informações fornecidas: a fórmula explícita de
para um vetor genérico
.
Passo 2
Lembrando as definições (isto é importante para a prova, vamos devagar):
- Uma função
é linear se, para quaisquer vetores e qualquer escalar , vale
e
Vou verificar essas duas propriedades diretamente usando a fórmula de
. Mostrar isso passo a passo prova a linearidade.
Passo 3
Verificação da aditividade
.
Sejam
e
. Primeiro calcule
:
Agora aplique
em
, usando a definição:
Distribuindo e agrupando termos:
Isso é exatamente
Logo a propriedade da aditividade vale.
Passo 4
Verificação da homogeneidade
.
Seja
e
. Então
. Aplicando
:
Fatorando
de cada coordenada:
Portanto a homogeneidade vale.
Passo 5
Conclusão da linearidade.
Como verificamos as duas propriedades (aditividade e homogeneidade), concluímos que
é linear. Alternativamente, nota-se que
pode ser escrita como multiplicação por uma matriz
de tamanho
:
A existência dessa matriz também explica por que
é linear (produto matriz-vetor preserva soma e multiplicação por escalar).]
Passo 6
Agora vamos tratar da injetividade e sobrejetividade. Primeiro as definições e ferramentas úteis:
-
é injetiva se e só se , isto é, a única solução de é . -
é sobrejetiva se , ou equivalentemente . - Teorema da dimensão (teorema núcleo-imagem, rank–nullity): para
,
Como
, isso já dá pistas: se
então
(não injetiva); se
então também não é sobrejetiva.
Passo 7
Calcular o posto (rank) da matriz
para saber
.
A matriz é
Para ver se as duas linhas são linearmente independentes, verifico se uma é múltiplo da outra. Não existe
tal que
porque comparar as coordenadas daria
pela primeira coordenada, mas então pela segunda coordenada
deveria ser
, absurdo. Logo as linhas não são múltiplos entre si e ambas são não nulas, então as duas linhas são linearmente independentes. Assim o posto de
é
.
Uma verificação algébrica rápida (eliminação) também dá:
multiplicando a segunda linha por e subtraindo a primeira obtém-se uma linha não nula
, mostrando claramente duas linhas independentes → posto
.]
multiplicando a segunda linha por
Passo 8
Consequências do posto
.
Como
e
, temos
. Portanto
é sobrejetiva.
Pelo teorema núcleo-imagem:
Como
, o núcleo contém vetores não nulos, logo
não é injetiva.
Passo 9
Encontrar explicitamente o núcleo (opcional, mas útil para entender porque não é injetiva).
Resolvendo
Da primeira equação
. Substituindo na segunda:
Multiplicando por
:
Então
Tomando
como parâmetro
,
, obtemos o vetor
se escolhermos
apropriado para eliminar frações. Assim
que é um subespaço unidimensional não trivial — confirmação concreta de que
não é injetiva.]
Passo 10
Resumo interpretativo (estímulo para a prova):
- A verificação direta das propriedades de linearidade é simples e mecânica: verificar aditividade e homogeneidade usando a expressão de
. - Para injetividade/sobrejetividade, o caminho prático em provas é escrever a matriz associada, calcular seu posto (por eliminação ou observando independência das linhas/colunas) e aplicar rank–nullity. Aqui o posto é
, portanto a imagem tem dimensão (toda ) e o núcleo tem dimensão (não só o vetor zero).
Resposta
(a)
é linear.
(b) não é injetiva;
é sobrejetiva.
(b)