Seja T: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{2} a função definida por:
T(x, y, z)=(2 x-y+z, x+3 y-2 z) .
(a) Verifique que T é uma transformação linear.
(b) A transformação linear dada é injetiva ou sobrejetiva?

Passo 1

O enunciado dá a transformação T:\mathbb{R}^{3}\to\mathbb{R}^{2} definida por
T(x,y,z)=(2x-y+z,\; x+3y-2z).
O que é pedido:
  • (a) Verificar que T é uma transformação linear.
  • (b) Dizer se T é injetiva e/ou sobrejetiva.
Informações fornecidas: a fórmula explícita de T para um vetor genérico (x,y,z)\in\mathbb{R}^3.

Passo 2

Lembrando as definições (isto é importante para a prova, vamos devagar):
  • Uma função T:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^2 é linear se, para quaisquer vetores u,v\in\mathbb{R}^3 e qualquer escalar c\in\mathbb{R}, vale
T(u+v)=T(u)+T(v)
e
T(cu)=c\,T(u).
Vou verificar essas duas propriedades diretamente usando a fórmula de T. Mostrar isso passo a passo prova a linearidade.

Passo 3

Verificação da aditividade T(u+v)=T(u)+T(v).
Sejam u=(x_1,y_1,z_1) e v=(x_2,y_2,z_2). Primeiro calcule u+v:
u+v=(x_1+x_2,\; y_1+y_2,\; z_1+z_2).
Agora aplique T em u+v, usando a definição:
T(u+v)=\bigl(2(x_1+x_2)-(y_1+y_2)+(z_1+z_2),\; (x_1+x_2)+3(y_1+y_2)-2(z_1+z_2)\bigr).
Distribuindo e agrupando termos:
T(u+v)=\bigl((2x_1-y_1+z_1)+(2x_2-y_2+z_2),\; (x_1+3y_1-2z_1)+(x_2+3y_2-2z_2)\bigr).
Isso é exatamente
T(u+v)=T(u)+T(v).
Logo a propriedade da aditividade vale.

Passo 4

Verificação da homogeneidade T(cu)=cT(u).
Seja c\in\mathbb{R} e u=(x,y,z). Então cu=(cx,cy,cz). Aplicando T:
T(cu)=\bigl(2(cx)-(cy)+(cz),\; (cx)+3(cy)-2(cz)\bigr).
Fatorando c de cada coordenada:
T(cu)=\bigl(c(2x-y+z),\; c(x+3y-2z)\bigr)=c\,(2x-y+z,\; x+3y-2z)=c\,T(u).
Portanto a homogeneidade vale.

Passo 5

Conclusão da linearidade.
Como verificamos as duas propriedades (aditividade e homogeneidade), concluímos que T é linear. Alternativamente, nota-se que T pode ser escrita como multiplicação por uma matriz A de tamanho 2\times3:
A=\begin{pmatrix}2 & -1 & 1 \\[4pt] 1 & 3 & -2\end{pmatrix}, \qquad T(v)=A v\\ \text{para todo } v\in\mathbb{R}^3.
A existência dessa matriz também explica por que T é linear (produto matriz-vetor preserva soma e multiplicação por escalar).]

Passo 6

Agora vamos tratar da injetividade e sobrejetividade. Primeiro as definições e ferramentas úteis:
  • T é injetiva se e só se \ker(T)=\{0\}, isto é, a única solução de T(v)=0 é v=0.
  • T é sobrejetiva se \operatorname{Im}(T)=\mathbb{R}^2, ou equivalentemente \dim(\operatorname{Im}(T))=2.
  • Teorema da dimensão (teorema núcleo-imagem, rank–nullity): para T:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^2,
\dim(\ker T)+\dim(\operatorname{Im} T)=\dim(\mathbb{R}^3)=3.
Como \dim(\operatorname{Im}T)\le\dim(\mathbb{R}^2)=2, isso já dá pistas: se \dim(\operatorname{Im}T)=2 então \dim(\ker T)=1 (não injetiva); se \dim(\operatorname{Im}T)<2 então também não é sobrejetiva.

Passo 7

Calcular o posto (rank) da matriz A para saber \dim(\operatorname{Im}T).
A matriz é
A=\begin{pmatrix}2 & -1 & 1 \\[4pt] 1 & 3 & -2\end{pmatrix}.
Para ver se as duas linhas são linearmente independentes, verifico se uma é múltiplo da outra. Não existe \lambda tal que
(1,3,-2)=\lambda(2,-1,1),
porque comparar as coordenadas daria \lambda=1/2 pela primeira coordenada, mas então pela segunda coordenada 3 deveria ser -\tfrac{1}{2}, absurdo. Logo as linhas não são múltiplos entre si e ambas são não nulas, então as duas linhas são linearmente independentes. Assim o posto de A é 2.
Uma verificação algébrica rápida (eliminação) também dá:
multiplicando a segunda linha por 2 e subtraindo a primeira obtém-se uma linha não nula (0,7,-5), mostrando claramente duas linhas independentes → posto =2.]

Passo 8

Consequências do posto =2.
Como \dim(\operatorname{Im}T)=\operatorname{rank}(A)=2 e \dim(\mathbb{R}^2)=2, temos \operatorname{Im}T=\mathbb{R}^2. Portanto T é sobrejetiva.
Pelo teorema núcleo-imagem:
\dim(\ker T)=3-\dim(\operatorname{Im}T)=3-2=1.
Como \dim(\ker T)=1>0, o núcleo contém vetores não nulos, logo T não é injetiva.

Passo 9

Encontrar explicitamente o núcleo (opcional, mas útil para entender porque não é injetiva).
Resolvendo A(x,y,z)^{T}=0\): \[\begin{cases} 2x-y+z=0,\\[4pt] x+3y-2z=0. \end{cases}
Da primeira equação 2x=y-z\], portanto \(x=\dfrac{y-z}{2}. Substituindo na segunda:
\frac{y-z}{2}+3y-2z=0.
Multiplicando por 2:
(y-z)+6y-4z=0 \quad\Rightarrow\quad 7y-5z=0 \quad\Rightarrow\quad y=\frac{5}{7}z.
Então
x=\frac{y-z}{2}=\frac{\tfrac{5}{7}z-z}{2}=\frac{-2}{7}\,\frac{z}{2}=-\frac{1}{7}z.
Tomando z como parâmetro t, z=t, obtemos o vetor
(x,y,z)=t\bigl(-\tfrac{1}{7},\tfrac{5}{7},1\bigr)=t(-1,5,7)
se escolhermos t apropriado para eliminar frações. Assim
\ker T=\operatorname{span}\{(-1,5,7)\},
que é um subespaço unidimensional não trivial — confirmação concreta de que T não é injetiva.]

Passo 10

Resumo interpretativo (estímulo para a prova):
  • A verificação direta das propriedades de linearidade é simples e mecânica: verificar aditividade e homogeneidade usando a expressão de T.
  • Para injetividade/sobrejetividade, o caminho prático em provas é escrever a matriz associada, calcular seu posto (por eliminação ou observando independência das linhas/colunas) e aplicar rank–nullity. Aqui o posto é 2, portanto a imagem tem dimensão 2 (toda \mathbb{R}^2) e o núcleo tem dimensão 1 (não só o vetor zero).

Resposta

(a) T é linear.
(b) T não é injetiva; T é sobrejetiva.

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