O que se pede:
(a) determinar a lei de formação T(x,y,z), isto é, escrever T aplicada ao vetor genérico (x,y,z)\in\mathbb{R}^3;
(b) verificar o Teorema do Núcleo e da Imagem (ou seja, calcular \ker T e \operatorname{Im}T, suas dimensões, e checar que \dim\mathbb{R}^3=\dim\ker T+\dim\operatorname{Im}T).
Passo 2
Primeiro passo prático: observar se os vetores cujas imagens são dadas formam uma base de \mathbb{R}^3. Tome
v_1=(1,1,0),\quad v_2=(0,1,0),\quad v_3=(0,0,2).
Para verificar independência linear, suponha que existam escalares \alpha,\beta,\gamma tais que
Como só a combinação trivial dá o vetor nulo, \{v_1,v_2,v_3\} é um conjunto linearmente independente de três vetores em \mathbb{R}^3, logo é uma base de \mathbb{R}^3. Isso é útil porque qualquer vetor (x,y,z) se escreve de maneira única como combinação linear desses v_i.
Passo 3
Expressar um vetor genérico (x,y,z)\) na base \(\{v_1,v_2,v_3\}\). Procuramos escalares \(a,b,c\) tais que
\[(x,y,z)=a(1,1,0)+b(0,1,0)+c(0,0,2).
Determinar o núcleo \ker T\). Resolver \(T(x,y,z)=(0,0)\), ou seja o sistema
\[\begin{cases} x+y=0,\\[4pt] -4x+3y+2z=0. \end{cases}
Da primeira equação y=-x\]. Substituindo na segunda:
\[-4x + 3(-x) + 2z = -4x -3x + 2z = -7x + 2z = 0 \quad\Rightarrow\quad 2z=7x \quad\Rightarrow\quad z=\frac{7}{2}x.\]
Logo os vetores do núcleo têm a forma
\[(x,y,z) = x\Big(1,-1,\frac{7}{2}\Big),\qquad x\in\mathbb{R}.\]
É mais conveniente dar um gerador inteiro: tomando \(t=x/2 obtemos
\ker T = \operatorname{span}\{(2,-2,7)\}.
Assim \dim\ker T=1.]
Passo 6
Determinar a imagem \operatorname{Im}T. Pelos dados, a imagem é gerada por
Como \operatorname{Im}T\subseteq\mathbb{R}^2, a dimensão máxima possível é 2. Verificamos que (2,-1) e (1,3) não são múltiplos um do outro (porque 2/1\neq -1/3), logo são linearmente independentes em \mathbb{R}^2. Portanto já temos \dim\operatorname{Im}T\ge 2, mas não pode ser maior que 2, logo \dim\operatorname{Im}T=2.
Como \dim\operatorname{Im}T=2=\dim\mathbb{R}^2, segue que \operatorname{Im}T=\mathbb{R}^2. Para conferir, mostra-se também que (0,4) está no span dos dois primeiros: existem \alpha,\beta tais que
\alpha(2,-1)+\beta(1,3)=(0,4).
Resolvendo rapidamente, a primeira coordenada dá 2\alpha+\beta=0\Rightarrow\beta=-2\alpha. Substituindo na segunda: -\alpha+3(-2\alpha)=-7\alpha=4\Rightarrow\alpha=-\tfrac{4}{7}, \beta=\tfrac{8}{7}. Logo (0,4) é combinação linear dos outros dois; isso confirma \operatorname{Im}T=\mathbb{R}^2.
Passo 7
Verificação do Teorema do Núcleo e da Imagem (Teorema da Dimensão / Rank-Nullity). O teorema afirma que, para uma transformação linear T:V\to W com V de dimensão finita,
\dim V = \dim\ker T + \dim\operatorname{Im}T.
Aqui V=\mathbb{R}^3 tem dimensão 3. Calculamos \dim\ker T=1 e \dim\operatorname{Im}T=2. Portanto
3 = 1 + 2,
o que confirma o teorema no caso concreto. Além disso, damos as descrições explícitas já encontradas:
(a) T(x,y,z)=(x+y,\,-4x+3y+2z).
(b) \ker T=\operatorname{span}\{(2,-2,7)\} com \dim\ker T=1; \operatorname{Im}T=\mathbb{R}^2=\operatorname{span}\{(2,-1),(1,3)\} com \dim\operatorname{Im}T=2. Logo 3=\dim\mathbb{R}^3=\dim\ker T+\dim\operatorname{Im}T=1+2.