Encontre a lei de formação das transformações lineares dadas: T: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3} tal que \operatorname{ker}(T)=[(1,2,1)].
Passo 1
O enunciado dá uma transformação linear T:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3 e informa que
\ker(T)=\operatorname{span}\{(1,2,1)\}.
A pergunta é: encontrar a lei de formação (ou seja, a forma geral) de todas as transformações lineares T que satisfazem essa condição.
Informações relevantes que temos:
O núcleo tem dimensão 1 e é gerado por (1,2,1).
Queremos a forma geral de T, isto é, uma expressão que descreva todos os T com esse núcleo.
Passo 2
Primeira ideia básica (passo-a-passo): toda transformação linear T:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3 pode ser representada por uma matriz A\in\mathbb{R}^{3\times3} tal que, para todo x\in\mathbb{R}^3,
T(x)=A x.
O núcleo de T é o conjunto de vetores x tais que A x=0. Isso significa que cada linha de A define uma forma linear (um produto escalar com a linha) que deve anular todo vetor do núcleo. Em particular, se v=(1,2,1) gera o núcleo, então cada linha r de A satisfaz
r\cdot v = 0.
Além disso, pelo Teorema do núcleo-imagem (rank–nullity), como \dim\ker(T)=1 e o espaço de partida tem dimensão 3, a imagem tem dimensão 2. Logo a matriz A deve ter posto 2.
Resumo útil até aqui:
Cada linha de A é ortogonal a (1,2,1).
As três linhas de A pertencem ao subespaço de \mathbb{R}^3 formado por vetores ortogonais a (1,2,1), que tem dimensão 2.
Para que \ker(T) seja exatamente o span e não maior, precisamos que o posto de A seja 2.
Passo 3
Vamos achar uma base do subespaço ortogonal a v=(1,2,1). Um vetor u=(a,b,c) é ortogonal a v quando
a+2b+c=0.
Escolhemos dois vetores simples que satisfazem isso. Por exemplo:
u_1=(2,-1,0),\qquad u_2=(1,0,-1).
Verificação rápida:
u_1\cdot v = 2\cdot1 + (-1)\cdot2 + 0\cdot1 = 2-2+0=0,
u_2\cdot v = 1\cdot1 + 0\cdot2 + (-1)\cdot1 = 1-1=0.
Além disso u_1 e u_2 são linearmente independentes, portanto formam uma base do subespaço v^\perp=\{w\in\mathbb{R}^3 : w\cdot v=0\}.
Consequência prática: cada linha de A é uma combinação linear de u_1 e u_2. Ou seja, existem escalares s_i,t_i (i=1,2,3) tais que a i-ésima linha de A é s_i u_1 + t_i u_2.
Passo 4
É conveniente escrever duas formas lineares independentes que anulam v. Use as componentes dos u_j como coeficientes das formas:
\varphi_1(x,y,z)=u_1\cdot(x,y,z)=2x-y,
\varphi_2(x,y,z)=u_2\cdot(x,y,z)=x-z.
Ambas anulam (1,2,1):
\varphi_1(1,2,1)=0,\qquad \varphi_2(1,2,1)=0.
Essas duas formas geram todas as formas lineares que anulam v. Assim, a imagem de um vetor x=(x,y,z) por T deve depender apenas de \varphi_1(x,y,z) e \varphi_2(x,y,z): primeiro aplicamos o mapeamento x\mapsto(\varphi_1(x),\varphi_2(x))\in\mathbb{R}^2, e depois aplicamos uma transformação linear M:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^3.
Explicação do porquê: qualquer linha de A é combinação linear de u_1,u_2, isso corresponde a escrever cada componente de T como combinação linear de \varphi_1 e \varphi_2. Assim obtemos a expressão acima, com 6 parâmetros \alpha,\beta,\gamma,\delta,\mu,\nu.]
Passo 5
Condição extra para que \ker(T)=\operatorname{span}\{(1,2,1)\} exatamente: a aplicação composta
tem posto 2. A primeira aplicação (as duas formas \varphi_1,\varphi_2) tem posto 2 porque \varphi_1 e \varphi_2 são linearmente independentes. Portanto o posto total é o posto da matriz M. Para que o núcleo de T seja exatamente o span de v é preciso e suficiente que
\operatorname{rank}(M)=2.
Se \operatorname{rank}(M)<2 então o posto de A seria <2 e o núcleo teria dimensão >1, o que não queremos.
Passo 6
Resumo final — forma geral e condição:
A forma geral de todas as transformações lineares T:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3 com \ker(T)=\operatorname{span}\{(1,2,1)\} é
tem posto 2. Isso garante que \dim\operatorname{Im}(T)=2 e, portanto, \ker(T) tem dimensão 1 e contém (1,2,1), logo \ker(T)=\operatorname{span}\{(1,2,1)\}.
Um exemplo concreto e simples (para ganhar confiança): escolha
onde \alpha,\beta,\gamma,\delta,\mu,\nu\in\mathbb{R} e a matriz M=\begin{pmatrix}\alpha & \beta\\[4pt]\gamma & \delta\\[4pt]\mu & \nu\end{pmatrix} satisfaz \operatorname{rank}(M)=2.]