Considere o espaço
o produto interno dado por
em que
é a transposta de
e
é a soma dos elementos da diagonal principal da matriz
.
(a) Prove a primeira propriedade do produto interno, isto é,
0 se, e somente se,
.
(b) Calcule o ângulo entre as matrizes
Elas são ortogonais?
(c) Ache uma base ortonormal para o subespaço gerado pelas matrizes
e
.
(a) Prove a primeira propriedade do produto interno, isto é,
(b) Calcule o ângulo entre as matrizes
(c) Ache uma base ortonormal para o subespaço gerado pelas matrizes
Passo 1
O exercício trata do espaço vetorial
com o produto interno
Vamos provar a positividade (
sse
), depois calcular o ângulo entre
e, finalmente, achar uma base ortonormal de
por Gram–Schmidt.
Passo 2
Para qualquer
temos
Logo
e
implica que cada
, isto é,
para todos
, ou seja,
. Recíproco óbvio.
Passo 3
Calculemos primeiro
Os comprimentos são
Assim
logo
.
Passo 4
Como
,
e
não são ortogonais.
Passo 5
Para a base ortonormal de
aplicamos Gram–Schmidt a
Definimos
Em seguida projetamos
em
e subtraímos:
Então
Passo 6
O quadrado da norma de
é
portanto
. Definimos
Resposta
(a)
sse
.
(b) . Elas não são ortogonais.
(c) Uma base ortonormal de é
(b)
(c) Uma base ortonormal de é