Sejam V=\mathbb{R}^{3}, W=\mathbb{R}^{2} e T: V \rightarrow W linear. Suponha que a matriz de T em relação às bases canônicas seja
A=\left[\begin{array}{lll} 1 & 2 & 0 \\\\ 0 & 1 & 3 \end{array}\right]
(a) Determine \operatorname{ker}(T).
(b) Determine \operatorname{Im}(T).
(c) Descreva geometricamente o núcleo e a imagem em \mathbb{R}^{3} e \mathbb{R}^{2}.

Passo 1

O enunciado nos dá um operador linear T\colon V\to W com V=\mathbb{R}^{3}, W=\mathbb{R}^{2} e, nas bases canônicas, a matriz\r
A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 0\\\\ 0 & 1 & 3 \end{pmatrix}.\r
Precisamos determinar \ker(T), \operatorname{Im}(T) e descrever geometricamente esses subespaços em \mathbb{R}^{3} e \mathbb{R}^{2}.

Passo 2

Por definição,\r
\ker(T)=\{x\in\mathbb{R}^{3}\mid A x=0\}.\r
Escrevendo o sistema Ax=0\), temos\r \[\begin{cases} x_{1} + 2x_{2} = 0,\\\ x_{2} + 3x_{3} = 0. \end{cases}\r
Da segunda equação segue x_{2}=-3x_{3}\]. Substituindo na primeira,\r \[x_{1} + 2(-3x_{3})=0\quad\Longrightarrow\quad x_{1}=6x_{3}.\]\r Logo todo vetor em \(\ker(T) é da forma\r
(x_{1},x_{2},x_{3})=(6t,-3t,t)=t\,(6,-3,1),\quad t\in\mathbb{R}.\r
Portanto \ker(T)=\mathrm{span}\{(6,-3,1)\}.

Passo 3

Por definição,\r
\operatorname{Im}(T)=\{A x\mid x\in\mathbb{R}^{3}\}
é o espaço gerado pelas colunas de A, ou seja,\r
\operatorname{Im}(T)=\mathrm{span}\{(1,0),(2,1),(0,3)\}.\r
Como (1,0) e (2,1) já são vetores linearmente independentes em \mathbb{R}^{2} e \dim(W)=2, concluímos que\r
\operatorname{Im}(T)=\mathbb{R}^{2}.

Passo 4

Geometricamente:\r
\ker(T) é uma reta (subespaço unidimensional) em \mathbb{R}^{3} que passa pela origem e segue a direção do vetor (6,-3,1).
\r
\operatorname{Im}(T) é todo o plano \mathbb{R}^{2}, isto é, a imagem de T preenche o espaço alvo inteiro.

Resposta

(a) \ker(T)=\mathrm{span}\{(6,-3,1)\}. \r
(b) \operatorname{Im}(T)=\mathbb{R}^{2}. \r
(c) \ker(T) é uma reta em \mathbb{R}^{3} ao longo de (6,-3,1) e \operatorname{Im}(T) é o plano todo \mathbb{R}^{2}.

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