Sejam W o subespaço de P_{3}(\mathbb{R}) gerado por B=\left\{-5+t-2 t^{2}+t^{3}, 1+2 t-t^{2}-2 t^{3}\right\} e a transformação linear T: W \rightarrow P_{2}(\mathbb{R}) definida por: T(p(t))=2 p^{\prime}(t)+p(0)(t-1).
Se [T]_{D}^{B}=\left[\begin{array}{cc}1 & 2 \\\\ 4 & 1 \\\\ -1 & -4\end{array}\right] pede-se:
(a) Calcular [T(p)]_{D} sendo [p]_{B}=\left[\begin{array}{c}2 \\\\ -1\end{array}\right]
(b) Se D=\left\{t-1, q_{1}(t), q_{2}(t)\right\} calcular 3\left(q_{1}(t)+q_{2}(t)\right).
(c) Determinar o núcleo N u c(T) e a imagem de $T.

Passo 1

O enunciado define o subespaço W\subset P_{3}(\mathbb{R}) gerado pela base
B=\{b_{1}(t)=-5+t-2t^{2}+t^{3},\;b_{2}(t)=1+2t-t^{2}-2t^{3}\}
e a transformação linear
T\colon W\to P_{2}(\mathbb{R}),\quad T(p(t))=2p'(t)+p(0)\,(t-1).
No codomínio usamos a base
D=\{\,d_{1}(t)=t-1,\;q_{1}(t),\;q_{2}(t)\}
e sabemos que
[T]_{D}^{B}=\begin{pmatrix}1&2\\\ 4&1\\\ -1&-4\end{pmatrix}.
Pede-se
(a) [T(p)]_{D} quando [p]_{B}=(2,-1)^{T},
(b) o polinômio 3\bigl(q_{1}(t)+q_{2}(t)\bigr),
(c) \ker T e \Im T.

Passo 2

Para (a) usamos diretamente
[T(p)]_{D} \;=\;[T]_{D}^{B}\,[p]_{B} \;=\; \begin{pmatrix}1&2\\\ 4&1\\\ -1&-4\end{pmatrix} \begin{pmatrix}2\\\ -1\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}1\cdot2+2\cdot(-1)\\\ 4\cdot2+1\cdot(-1)\\\ -1\cdot2+(-4)\cdot(-1)\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}0\\\ 7\\\ 2\end{pmatrix}.

Passo 3

Para (b) primeiro obtemos as imagens em base padrão de b_{1} e b_{2} para depois igualar às coordenadas em D.
  1. Em b_{1}(t)=-5+t-2t^{2}+t^{3} temos
b_{1}'(t)=1-4t+3t^{2},\quad 2b_{1}'(t)=2-8t+6t^{2},\quad b_{1}(0)=-5,\quad b_{1}(0)\,(t-1)=-5t+5.
Logo
T(b_{1})=2b_{1}'(t)+b_{1}(0)\,(t-1) =6t^{2}-13t+7.
  1. Em b_{2}(t)=1+2t-t^{2}-2t^{3} temos
b_{2}'(t)=2-2t-6t^{2},\quad 2b_{2}'(t)=4-4t-12t^{2},\quad b_{2}(0)=1,\quad b_{2}(0)\,(t-1)=t-1.
Logo
T(b_{2})=4-4t-12t^{2}+t-1=-12t^{2}-3t+3.

Passo 4

Sabendo que
T(b_{1})=1\cdot d_{1}+4\,q_{1}-1\,q_{2} \;=\;6t^{2}-13t+7, \quad T(b_{2})=2\cdot d_{1}+1\,q_{1}-4\,q_{2} \;=\;-12t^{2}-3t+3,
escrevemos
q_{1}(t)=\tfrac{12}{5}t^{2}-\tfrac{17}{5}t+\tfrac{9}{5}, \quad q_{2}(t)=\tfrac{18}{5}t^{2}+\tfrac{2}{5}t-\tfrac{4}{5}.
Daí
q_{1}(t)+q_{2}(t)=6t^{2}-3t+1,
e multiplicando por 3 obtém-se
3\bigl(q_{1}+q_{2}\bigr)=18t^{2}-9t+3.

Passo 5

A matriz [T]_{D}^{B} tem posto 2 (suas colunas são independentes), logo
\dim\ker T = \dim W - \rank T = 2 - 2 = 0, \quad \dim\Im T = 2.
Assim
\ker T = \{0\}, \qquad \Im T = \span\{T(b_{1}),\,T(b_{2})\} = \span\{6t^{2}-13t+7,\,-12t^{2}-3t+3\}.

Resposta

(a) [T(p)]_{D}=(0,\,7,\,2)^{T}
(b) 3\bigl(q_{1}(t)+q_{2}(t)\bigr)=18t^{2}-9t+3
(c) \ker T=\{0\} e \Im T=\span\{6t^{2}-13t+7,\,-12t^{2}-3t+3\}.

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