Seja T o operador de P_{2}(\mathbb{R}) definido por T(p)=p^{\prime}+3 p. Determine a expressão do operador L do P_{2} cuja matriz em relação à base canônica é a transposta da matriz de T (isto é, [L]=A^{t} onde A=[T] ).
Passo 1
O enunciado define o operador linear T\colon P_{2}(\mathbb{R})\to P_{2}(\mathbb{R}) dado por
T(p)=p'+3p.
Queremos encontrar o operador L cuja matriz na base canônica \{1,x,x^2\} é a transposta da matriz de T. Para isso vamos:
calcular a matriz A=[T] em relação à base \{1,x,x^2\};
transpor A para obter A^{T};
interpretar A^{T} como matriz de um operador em P_{2} e escrever a ação de L.
Passo 2
Aplicamos T aos vetores da base canônica:
T(1)= (1)'+3\cdot1 = 3, ou seja, coordenadas \begin{pmatrix}3\\\ 0\\\ 0\end{pmatrix}.
T(x)= (x)'+3x = 1+3x, ou seja, coordenadas \begin{pmatrix}1\\\ 3\\\ 0\end{pmatrix}.
T(x^2)= (x^2)'+3x^2 = 2x+3x^2, ou seja, coordenadas \begin{pmatrix}0\\\ 2\\\ 3\end{pmatrix}.