Seja T o operador de P_{2}(\mathbb{R}) definido por T(p)=p^{\prime}+3 p. Determine a expressão do operador L do P_{2} cuja matriz em relação à base canônica é a transposta da matriz de T (isto é, [L]=A^{t} onde A=[T] ).

Passo 1

O enunciado define o operador linear T\colon P_{2}(\mathbb{R})\to P_{2}(\mathbb{R}) dado por
T(p)=p'+3p.
Queremos encontrar o operador L cuja matriz na base canônica \{1,x,x^2\} é a transposta da matriz de T. Para isso vamos:
  1. calcular a matriz A=[T] em relação à base \{1,x,x^2\};
  2. transpor A para obter A^{T};
  3. interpretar A^{T} como matriz de um operador em P_{2} e escrever a ação de L.

Passo 2

Aplicamos T aos vetores da base canônica:
  • T(1)= (1)'+3\cdot1 = 3, ou seja, coordenadas \begin{pmatrix}3\\\ 0\\\ 0\end{pmatrix}.
  • T(x)= (x)'+3x = 1+3x, ou seja, coordenadas \begin{pmatrix}1\\\ 3\\\ 0\end{pmatrix}.
  • T(x^2)= (x^2)'+3x^2 = 2x+3x^2, ou seja, coordenadas \begin{pmatrix}0\\\ 2\\\ 3\end{pmatrix}.
Logo a matriz de T na base \{1,x,x^2\} é
A = [T] = \begin{pmatrix} 3 & 1 & 0\\\\ 0 & 3 & 2\\\\ 0 & 0 & 3 \end{pmatrix}.

Passo 3

A transposta de A é
A^{T} = \begin{pmatrix} 3 & 0 & 0\\\\ 1 & 3 & 0\\\\ 0 & 2 & 3 \end{pmatrix}.

Passo 4

Seja p(x)=a+bx+cx^2 com vetor de coordenadas \begin{pmatrix}a\b\c\end{pmatrix}. Então
[L(p)] = A^{T}\begin{pmatrix}a\b\c\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}3a\a+3b\\\ 2b+3c\end{pmatrix}.
Isto é,
L(p)(x)=3a + (a+3b)\,x + (2b+3c)\,x^2.

Resposta

Para p(x)=a+bx+cx^2,
L(p)(x)=3a + (a+3b)\,x + (2b+3c)\,x^2.

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