Questão 4: Determine quais dos conjuntos são espaços vetoriais com as operações dadas. Para os que não são, liste todos os axiomas que falham.
O conjunto de todos os ternos ordenados (x, y, z) de números reais com as operações ( x, y, z)+(x^0, y^0, z^0)=(x+x^0, y+y^0, z+z^0) e k(x, y, z)=(0,0,0), k in R.

Passo 1

O enunciado define o conjunto
V=(x,y,z)mid x,y,zinR
com a soma usual
(x,y,z)+(x',y',z')=(x+x',,y+y',,z+z')
e a multiplicação escalar “zerada”
k,(x,y,z)=(0,0,0), kinR
Vamos checar todos os axiomas de espaço vetorial sobre R.

Passo 2

Verificamos primeiro os axiomas relativos à soma em V:
  1. Fechamento: se (x,y,z) e (x',y',z') estão em V, então (x+x',y+y',z+z')in V.
  2. Comutatividade: (x,y,z)+(x',y',z')=(x',y',z')+(x,y,z).
  3. Associatividade: (u+v)+w = u+(v+w) vale para quaisquer u,v,win V.
  4. Elemento neutro: existe (0,0,0) tal que (x,y,z)+(0,0,0)=(x,y,z).
  5. Inverso aditivo: para cada (x,y,z) o inverso é (-x,-y,-z).
    Todos esses cinco axiomas de soma são satisfeitos.

Passo 3

Agora os axiomas que envolvem multiplicação escalar:
6. Fechamento: k,(x,y,z)=(0,0,0)in V.
7. Distributividade em relação à soma de vetores:
k,(u+v)=k,u + k,v
como ambos os lados valem (0,0,0).
8. Distributividade em relação à soma de escalares:
(k+ell),v = k,v + ell,v
novamente (0,0,0)=(0,0,0)+(0,0,0).
9. Compatibilidade de escalares:
k,(ell,v)=(kell),v,
pois ell,v=(0,0,0) e qualquer k aplicado dá (0,0,0).
Todos esses três axiomas também são satisfeitos.

Passo 4

O único axioma que falha é o da unidade escalar:
10. Deve valer
1,(x,y,z) = (x,y,z)para todo (x,y,z)in V
Mas pela definição temos
1,(x,y,z)=(0,0,0)neq(x,y,z)
sempre que (x,y,z)neq(0,0,0). Logo esse axioma não é satisfeito.

Resposta

O conjunto não é um espaço vetorial, pois falha o axioma
1cdot v = v

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