Questão 4: Determine quais dos conjuntos são espaços vetoriais com as operações dadas. Para os que não são, liste todos os axiomas que falham.
O conjunto de todos os ternos ordenados
de números reais com as operações (
,
e
.
O conjunto de todos os ternos ordenados
Passo 1
O enunciado define o conjunto
com a soma usual
com a soma usual
e a multiplicação escalar “zerada”
Vamos checar todos os axiomas de espaço vetorial sobre
.
Passo 2
Verificamos primeiro os axiomas relativos à soma em
:
- Fechamento: se
e estão em , então . - Comutatividade:
. - Associatividade:
vale para quaisquer . - Elemento neutro: existe
tal que . - Inverso aditivo: para cada
o inverso é .
Todos esses cinco axiomas de soma são satisfeitos.
Passo 3
Agora os axiomas que envolvem multiplicação escalar:
6. Fechamento: .
7. Distributividade em relação à soma de vetores:
6. Fechamento:
7. Distributividade em relação à soma de vetores:
como ambos os lados valem
.
8. Distributividade em relação à soma de escalares:
8. Distributividade em relação à soma de escalares:
novamente
.
9. Compatibilidade de escalares:
9. Compatibilidade de escalares:
pois
e qualquer
aplicado dá
.
Todos esses três axiomas também são satisfeitos.
Todos esses três axiomas também são satisfeitos.
Passo 4
O único axioma que falha é o da unidade escalar:
10. Deve valer
10. Deve valer
Mas pela definição temos
sempre que
. Logo esse axioma não é satisfeito.
Resposta
O conjunto não é um espaço vetorial, pois falha o axioma