Seja T: R^2 R^3, dada por T(x, y)=(2 x+y, 3 x+2 y,-2 x-y). Encontre o núcleo e uma base para a imagem de T.

Passo 1

O enunciado nos dá a transformação linear
Tcolon R^2 to R^3, T(x,y) = (2x+y,;3x+2y,;-2x-y)
Queremos encontrar
– o núcleo ker(T)=(x,y)mid T(x,y)=(0,0,0),
– uma base da imagem Im(T)=T(x,y)mid (x,y)inR^2.
Usaremos definição de núcleo (solução homogênea) e imagem (span dos vetores coluna), além do teorema da dimensão (rank–nullity).

Passo 2

Para achar
Note que a terceira equação é simplesmente . Substituindo na segunda:
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Passo 3

Para a imagem, observamos que T é linear, então
Im(T) = spanT(1,0),,T(0,1)
Calculando
T(1,0) = (2,3,-2), T(0,1) = (1,2,-1)
Como dimker(T)=0 e dimR^2=2, pelo teorema da dimensão segue dimIm(T)=2. Os vetores (2,3,-2) e (1,2,-1) não são múltiplos entre si, logo são independentes e formam uma base de Im(T).

Resposta

ker(T)=(0,0)
Uma base de Im(T) é (2,3,-2),,(1,2,-1).

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