Seja
, dada por
. Encontre o núcleo e uma base para a imagem de
.
Passo 1
O enunciado nos dá a transformação linear
Queremos encontrar
– o núcleo ,
– uma base da imagem .
Usaremos definição de núcleo (solução homogênea) e imagem (span dos vetores coluna), além do teorema da dimensão (rank–nullity).
– o núcleo
– uma base da imagem
Usaremos definição de núcleo (solução homogênea) e imagem (span dos vetores coluna), além do teorema da dimensão (rank–nullity).
Passo 2
Para achar
Note que a terceira equação é simplesmente . Substituindo na segunda:
Logo
Passo 3
Para a imagem, observamos que T é linear, então
Calculando
Como
e
, pelo teorema da dimensão segue
. Os vetores
e
não são múltiplos entre si, logo são independentes e formam uma base de
.
Resposta
Uma base de