Verifique se a aplicação T: R^2 R^2, tal que T(x, y)=(x^2, y^2) é uma transformação linear, justificando sua resposta com a teoria.

Passo 1

O enunciado define a aplicação
;Tcolon R^2 to R^2
por
;T(x,y) = (x^2,y^2).
Para ser transformação linear, T deve satisfazer duas propriedades para todo u,vinR^2 e todo escalar c:
  1. Aditividade: ;T(u+v)=T(u)+T(v).
  2. Homogeneidade: ;T(c,u)=c,T(u).

Passo 2

Testando a aditividade, seja u=(x1,y1) e v=(x2,y2). Então
T(u+v) = Tl(x1+x2,;y1+y2r) = l((x1+x2)^2,,(y1+y2)^2r) = l(x1^2+2x1x2+x2^2,;y1^2+2y1y2+y2^2r),
enquanto
T(u)+T(v) = (x1^2,y1^2)+(x2^2,y2^2) = (x1^2+x2^2,;y1^2+y2^2)
Como surgem os termos 2x1x2 e 2y1y2 em T(u+v), temos em geral
;T(u+v)neq T(u)+T(v).

Passo 3

Testando a homogeneidade, para um escalar c e u=(x,y):
T(c,u) = T(cx,cy) = l((c x)^2,,(c y)^2r) = l(c^2x^2,;c^2y^2r) = c^2,(x^2,y^2) = c^2,T(u),
o que difere de c,T(u) (que seria c,(x^2,y^2)) sempre que cneq0,1.

Passo 4

Como pelo menos uma das propriedades (aditividade ou homogeneidade) falha, concluímos que T não é linear.

Resposta

T não é transformação linear.

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