Dada a matriz A abaixo, encontre os autovalores, os autovetores e diga se A é diagonalizável, justificando sua resposta. Caso seja diagonalizável, encontre a matriz diagonal, semelhante à matriz A .
A=[llll 3 & 0 & 0 & 0 4 & 1 & 0 & 0 0 & 0 & 2 & 1 0 & 0 & 0 & 2 ]

Passo 1

O enunciado dá a matriz triangular
A = 3 & 0 & 0 & 0 4 & 1 & 0 & 0 0 & 0 & 2 & 1 0 & 0 & 0 & 2
e pede autovalores, autovetores e se é diagonalizável. Como A é triangular, seus autovalores são exatamente os elementos da diagonal principal.

Passo 2

Os autovalores de A são
lambda1 = 3, lambda2 = 1, lambda3 = lambda4 = 2

Passo 3

Para lambda=3 resolvemos (A-3I)x=0. Na forma expandida,
A-3I = 0 & 0 & 0 & 0 4 & -2 & 0 & 0 0 & 0 & -1 & 1 0 & 0 & 0 & -1
Das duas primeiras equações vem 4x1 -2x2=0implies x2=2x1. Das duas últimas vem x4=0 e então x3=0. Logo o espaço próprio é gerado por
v1 = 1200

Passo 4

Para lambda=1 resolvemos (A-I)x=0, i.e.
A-I = 2 & 0 & 0 & 0 4 & 0 & 0 & 0 0 & 0 & 1 & 1 0 & 0 & 0 & 1
Da primeira equação sai x1=0. Da última sai x4=0, e daí x3=0. Resta x2 livre, gerando
v2 = 0100

Passo 5

Para lambda=2 resolvemos (A-2I)x=0, i.e.
A-2I = 1 & 0 & 0 & 0 4 & -1 & 0 & 0 0 & 0 & 0 & 1 0 & 0 & 0 & 0
Das duas primeiras equações vêm x1=0 e x2=0. Da terceira vem x4=0. Sobrou x3 livre, gerando
v3 = 0010
Como o multiplicador algébrico de lambda=2 é 2, mas o espaço próprio associado tem dimensão apenas 1, a multiplicidade geométrica é menor que a algébrica.

Passo 6

Somando as dimensões dos espaços próprios temos apenas 3 vetores independentes ( v1,v2,v3) para uma matriz 4times4. Logo não há base de R^4 formada por autovetores de A.

Resposta

Autovalores: lambda=3,1,2,2.
Autovetores:
v1=(1,2,0,0)^T, v2=(0,1,0,0)^T, v3=(0,0,1,0)^T
A matriz A não é diagonalizável, pois para lambda=2 a multiplicidade geométrica (1) é menor que a multiplicidade algébrica (2).

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