Calcule a distância entre:
as retas r: X=(1,0,0)+h(-2,4,2) ; h in IR e s: 2-x=y-12=z-21.

Passo 1

O enunciado pede a distância entre as retas r e s. Vamos usar geometria analítica no espaço: obter um ponto e um vetor diretor para cada reta, verificar se são paralelas e, em caso afirmativo, aplicar a fórmula de distância entre retas paralelas.

Passo 2

Para r temos
r(h) = (1,0,0) + h,(-2,4,2),
então escolhemos P0=(1,0,0) e u=(-2,4,2).
Para s escrevemos
2 - x1 ;=;y - 12;=;z - 21=t,
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s(t) = (2,1,2) + t,(-1,2,1),
e tomamos Q0=(2,1,2), v=(-1,2,1).

Passo 3

Verificamos se u e v são paralelos. Como
(-2,4,2) = 2,(-1,2,1),
os vetores são proporcionais e, portanto, as retas são paralelas.

Passo 4

Para retas paralelas, a fórmula da distância é
d = llVert (Q0 - P0)times urrVertlVert urVert

Passo 5

Calculamos
Q0 - P0 = (2,1,2) - (1,0,0) = (1,1,2),
e o produto vetorial
(1,1,2)times(-2,4,2) = (-6,-6,6),
cuja norma é
llVert(-6,-6,6)rrVert = raiz36+36+36 = 6raiz3

Passo 6

A norma de u é
lVert urVert = raiz(-2)^2 + 4^2 + 2^2 = raiz24 = 2raiz6

Passo 7

Substituindo na fórmula,
d = 6raiz32raiz6 = 3,raiz3raiz6 = 3raiztfrac36 = 3raiztfrac12 = 3raiz22

Resposta

3raiz22

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