Seja r a reta interseção dos planos alpha: x+y+z-11=0 e beta: x-4 y+5 z-10=0. Determine a equação do plano que contém a reta r, e:
é paralelo ao plano 9 x-21 y+33 z+1=0.

Passo 1

O enunciado dá dois planos
alpha: x+y+z-11=0
beta: x-4y+5z-10=0
cuja interseção é a reta r. Queremos achar a equação de um plano que:
  1. contém r,
  2. é paralelo ao plano
9x-21y+33z+1=0
Para isso vamos usar: (i) vetores normais dos planos, (ii) produto vetorial para direção de r, (iii) ponto em r, (iv) equação geral de um plano com dado normal.

Passo 2

Calcular o vetor direção de r como
d = nalpha times nbeta,
onde
nalpha=(1,1,1) e nbeta=(1,-4,5).
Fazendo o produto vetorial,
d = i&j&k 1&1&1 1&-4&5 =(9,-4,-5)

Passo 3

O plano buscado deve ser paralelo a
9x-21y+33z+1=0,
cujo vetor normal é n=(9,-21,33). Para que r esteja nesse plano, é necessário ncdotd=0. De fato,
(9,-21,33)cdot(9,-4,-5) =9cdot9 +(-21)cdot(-4)+33cdot(-5) =81+84-165=0,
logo é possível haver um plano com esse normal que contenha r.

Passo 4

Agora buscamos um ponto qualquer em
podemos escolher, por exemplo, é .

Passo 5

A equação geral do plano paralelo ao dado e com normal n=(9,-21,33) é
9x-21y+33z+D=0
Para que ele passe por P, impomos
9cdottfrac545-21cdottfrac15+33cdot0+D=0 ;Longrightarrow; tfrac486-215+D=0 ;Longrightarrow; 93+D=0 ;Longrightarrow; D=-93

Resposta

Uma forma simplificada da equação é
3x-7y+11z-31=0,
que é equivalente a
9x-21y+33z-93=0

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