Seja T: R^3 R^3 definido por T(x, y, z)=(x+2 y, 3 x-4 z, y). Encontre T^*(x, y, z).

Passo 1

O enunciado define a transformação linear
Tcolon R^3 to R^3, T(x,y,z) = (,x+2y,;3x-4z,;y,)
e pede o adjunto T^* relativa ao produto interno euclidiano padrão. Para isso vamos:
  1. representar T por sua matriz A na base canônica;
  2. usar que, nesse caso, a matriz de T^* é A^T;
  3. calcular A^T e escrever T^*(x,y,z).

Passo 2

Vamos achar a matriz A de T na base canônica e1,e2,e3. Como
T(e1)=T(1,0,0)=(1,3,0), T(e2)=T(0,1,0)=(2,0,1), T(e3)=T(0,0,1)=(0,-4,0),
os vetores-coluna de A são justamente essas imagens:
A = 1 & 2 & 0 3 & 0 & -4 0 & 1 & 0

Passo 3

Sabemos que, no espaço real com o produto interno padrão, a matriz de T^* é a transposta de A, ou seja,
mat(T^*) = A^T

Passo 4

Calculando a transposta,
então, para ,

Resposta

T^*(x,y,z) = l(x + 3y,;2x + z,;-4yr)

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