Seja u1, cdots, ur um subconjunto ortonormal de V. Mostre que, para qualquer v in V, sumi=1^r|lang<= v, uirang<=|^2 <=|v|^2. (Conhecida como a desigualdade de Bessel.)

Passo 1

O enunciado dá um espaço com produto interno V e um conjunto ortonormal
u1,dots,ursubset V. Queremos provar a desigualdade de Bessel, isto é, para todo vin V vale
sumi=1^rl|lang<= v,uirang<=r|^2;<=;|v|^2
O conteúdo que vamos usar é a decomposição de v em uma parte no subespaço gerado pelos ui e uma parte ortogonal, além do Teorema de Pitágoras em espaços com produto interno.

Passo 2

Defina
w ;=;sumi=1^rlang<= v,uirang<=,ui e e ;=;v - w
Aqui w é exatamente a projeção de v no subespaço W=spanu1,dots,ur, e e é o “resto”.

Passo 3

Mostramos que e é ortogonal a cada ui. De fato, para 1<= i<= r,
lang<= e, uirang<= =lang<= v - w,,uirang<= =lang<= v,uirang<= -sumj=1^rlang<= v,ujrang<=lang<= uj,uirang<=
Como o conjunto é ortonormal, lang<= uj,uirang<==de<aji. Logo todos os termos da soma se anulam, restando
lang<= e,uirang<==0.

Passo 4

Pelo Teorema de Pitágoras em V (porque wperp e), temos
|v|^2 =|w+e|^2 =|w|^2+|e|^2 ;>=;|w|^2
Mas, como w é combinação linear ortonormal,
|w|^2 =l|sumi=1^rlang<= v,uirang<=,uir|^2 =sumi=1^rl|lang<= v,uirang<=r|^2

Resposta

sumi=1^rl|lang<= v,uirang<=r|^2;<=;|v|^2

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