Seja um subconjunto ortonormal de . Mostre que, para qualquer , . (Conhecida como a desigualdade de Bessel.)
Passo 1
O enunciado dá um espaço com produto interno e um conjunto ortonormal . Queremos provar a desigualdade de Bessel, isto é, para todo vale
O conteúdo que vamos usar é a decomposição de v em uma parte no subespaço gerado pelos ui e uma parte ortogonal, além do Teorema de Pitágoras em espaços com produto interno.
Passo 2
Defina
w ;=;sumi=1^rlang<= v,uirang<=,ui e e ;=;v - w
Aqui w é exatamente a projeção de v no subespaço W=spanu1,dots,ur, e e é o “resto”.
Passo 3
Mostramos que e é ortogonal a cada ui. De fato, para 1<= i<= r,
lang<= e, uirang<= =lang<= v - w,,uirang<= =lang<= v,uirang<= -sumj=1^rlang<= v,ujrang<=lang<= uj,uirang<=
Como o conjunto é ortonormal, lang<= uj,uirang<==de<aji. Logo todos os termos da soma se anulam, restando lang<= e,uirang<==0.
Passo 4
Pelo Teorema de Pitágoras em V (porque wperp e), temos