Seja T: R^2 R^3 a transformação linear dada por
T(x, y)=(x+2 y, y,-x+3 y)
Determine:
(a) a matriz da transformação em relação às bases canônicas
B1=(1,0),(0,1) e B2=(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)
(b) a matriz da transformação em relação às bases
B1=(1,-1),(2,1) e B2=(1,0,0),(1,1,0),(1,1,1)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de transformação linear! A gente tem uma transformação definida por . Nosso objetivo é encontrar a matriz que representa essa transformação em duas situações diferentes de bases, uma canônica e outra personalizada. Para isso, vamos usar conceitos de matrizes de transformação linear e mudança de base.

Passo 2

Vamos começar com a parte (a). Aqui, queremos achar a matriz de em relação às bases canônicas. As bases canônicas são para e para .

Passo 3

Para encontrar a matriz, aplicamos a transformação a cada vetor da base de partida . Ou seja, calculamos e .

Passo 4

Calculando T(1, 0) = (1 + 2 cdot 0, 0, -1 + 3 cdot 0) = (1, 0, -1) :
T(0, 1) = (0 + 2 cdot 1, 1, -0 + 3 cdot 1) = (2, 1, 3)
E calculando :

Passo 5

A matriz da transformação em relação às bases canônicas é formada colocando esses vetores transformados como colunas. Então, temos:
[A]B1 B2 = 1 & 2 0 & 1 -1 & 3

Passo 6

Agora, vamos para a parte (b). Queremos a matriz de em relação às bases para e para .

Passo 7

Primeiro, precisamos encontrar as coordenadas dos vetores transformados e na nova base .

Passo 8

Calculando T(1, -1) = (1 + 2 cdot (-1), -1, -1 + 3 cdot (-1)) = (-1, -1, -4) :
T(2, 1) = (2 + 2 cdot 1, 1, -2 + 3 cdot 1) = (4, 1, 1)
E calculando :

Passo 9

Agora, vamos expressar esses vetores na base (-1, -1, -4) = a(1,0,0) + b(1,1,0) + c(1,1,1) . Ou seja, precisamos encontrar vetores (4, 1, 1) = a'(1,0,0) + b'(1,1,0) + c'(1,1,1) tais que:
e

Passo 10

Resolvendo para a + b + c = -1 0 + b + c = -1 0 + 0 + c = -4 :
Da terceira equação, . Substituindo na segunda, , então . E na primeira, , então .

Passo 11

Resolvendo para a' + b' + c' = 4 0 + b' + c' = 1 0 + 0 + c' = 1 :
Da terceira equação, . Substituindo na segunda, , então . E na primeira, , então .

Passo 12

Com isso, as coordenadas na base T(1,-1) = 0 cdot (1,0,0) + 3 cdot (1,1,0) -4 cdot (1,1,1) são:
T(2,1) = 3 cdot (1,0,0) + 0 cdot (1,1,0) +1 cdot (1,1,1)

Passo 13

A matriz de [A]B1 B2 = 0 & 3 3 & 0 -4 & 1 em relação às bases e é formada pelas coordenadas encontradas:

Resposta

(a) A matriz da transformação em relação às bases canônicas é:
1 & 2 0 & 1 -1 & 3
(b) A matriz da transformação em relação às bases 0 & 3 3 & 0 -4 & 1 e é:

Exercícios relacionados