Determine:
(a) a matriz da transformação em relação às bases canônicas
(b) a matriz da transformação em relação às bases
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de transformação linear! A gente tem uma transformação definida por . Nosso objetivo é encontrar a matriz que representa essa transformação em duas situações diferentes de bases, uma canônica e outra personalizada. Para isso, vamos usar conceitos de matrizes de transformação linear e mudança de base.
Passo 2
Vamos começar com a parte (a). Aqui, queremos achar a matriz de em relação às bases canônicas. As bases canônicas são para e para .
Passo 3
Para encontrar a matriz, aplicamos a transformação a cada vetor da base de partida . Ou seja, calculamos e .
Passo 4
Calculando :
E calculando :
Passo 5
A matriz da transformação em relação às bases canônicas é formada colocando esses vetores transformados como colunas. Então, temos:
Passo 6
Agora, vamos para a parte (b). Queremos a matriz de em relação às bases para e para .
Passo 7
Primeiro, precisamos encontrar as coordenadas dos vetores transformados e na nova base .