4 Sejam T: R^2 R^2 linear e B=u, v uma base de R^2 tal que T(u)=(0,0) e T(v)=u. Mostre que T não é diagonalizável.

Passo 1

O enunciado diz que Tcolon R^2toR^2 é linear e que existe uma base B=u,v de R^2 tal que
T(u)=(0,0), T(v)=u
O conteúdo aqui é análise de diagonalização de uma transformação linear, usando representação matricial em uma base e comparando multiplicidades algébrica e geométrica dos autovalores.

Passo 2

Em relação à base B=u,v, escrevemos as imagens de T em coordenadas dessa base. Temos
T(u)=0cdot u+0cdot v, T(v)=1cdot u+0cdot v
Logo a matriz de T em B é
M = 0 & 1 0 & 0

Passo 3

O polinômio característico de M é
det(M-lambda I) =det!-lambda & 10 & -lambda =lambda^2
Portanto o único autovalor é
lambda=0
com multiplicidade algébrica igual a 2.

Passo 4

Para encontrar o autovetor correspondente a , resolvemos
Isso exige , de modo que todos os autovetores são , i.e.\ gerados por , que corresponde a . A dimensão do espaço próprio (multiplicidade geométrica) é .

Passo 5

Como a multiplicidade geométrica de lambda=0 é 1, menor que sua multiplicidade algébrica 2, a matriz M não pode ser diagonalizada. Consequentemente, T não é diagonalizável.

Resposta

T não é diagonalizável.

Exercícios relacionados