4 Sejam linear e uma base de tal que e . Mostre que não é diagonalizável.
Passo 1
O enunciado diz que é linear e que existe uma base de tal que
O conteúdo aqui é análise de diagonalização de uma transformação linear, usando representação matricial em uma base e comparando multiplicidades algébrica e geométrica dos autovalores.
Passo 2
Em relação à base , escrevemos as imagens de em coordenadas dessa base. Temos
Para encontrar o autovetor correspondente a , resolvemos
Isso exige , de modo que todos os autovetores são , i.e.\ gerados por , que corresponde a . A dimensão do espaço próprio (multiplicidade geométrica) é .
Passo 5
Como a multiplicidade geométrica de lambda=0 é 1, menor que sua multiplicidade algébrica 2, a matriz M não pode ser diagonalizada. Consequentemente, T não é diagonalizável.