Seja T: R^3 R^3 o operador de reflexão no plano x y, dado por T(x, y, z)=(x, y,-z). O operador T é unitário? Obtenha o operador inverso T^-1.

Passo 1

O enunciado define o operador linear de reflexão no plano xy
Tcolon R^3 to R^3, T(x,y,z) = (x,y,-z)
Queremos (i) verificar se T é unitário (isto é, se preserva o produto interno canônico em R^3) e (ii) encontrar o inverso T^-1.

Passo 2

Lembrando que um operador T é unitário se, para quaisquer u,vinR^3,
lang<= T(u),,T(v)rang<= ;=;lang<= u,,vrang<=,
onde lang<= (x1,y1,z1),,(x2,y2,z2)rang<= = x1x2 + y1y2 + z1z2.

Passo 3

Sejam u=(x1,y1,z1) e v=(x2,y2,z2). Então
T(u)=(x1,y1,-z1), T(v)=(x2,y2,-z2)
e
lang<= T(u),T(v)rang<= = x1x2 + y1y2 + (-z1)(-z2) = x1x2 + y1y2 + z1z2 = lang<= u,vrang<=

Passo 4

Como lang<= T(u),T(v)rang<= = lang<= u,vrang<= para todo u,v, T preserva o produto interno e, portanto, é unitário.

Passo 5

Para o inverso, note que aplicar duas vezes a reflexão anula a reflexão:
Tl(T(x,y,z)r)=T(x,y,-z)=(x,y,z)
Logo T^-1=T, isto é,
T^-1(x,y,z) = (x,y,-z)

Resposta

T é unitário e T^-1=T, ou seja, T^-1(x,y,z)=(x,y,-z).

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