Seja
o operador de reflexão no plano
, dado por
. O operador
é unitário? Obtenha o operador inverso
.
Passo 1
O enunciado define o operador linear de reflexão no plano
Queremos (i) verificar se
é unitário (isto é, se preserva o produto interno canônico em
) e (ii) encontrar o inverso
.
Passo 2
Lembrando que um operador
é unitário se, para quaisquer
,
onde
.
Passo 3
Sejam
e
. Então
e
Passo 4
Como
para todo
,
preserva o produto interno e, portanto, é unitário.
Passo 5
Para o inverso, note que aplicar duas vezes a reflexão anula a reflexão:
Logo
, isto é,