Seja T: R^{3} \rightarrow R^{2} uma transformação definida por T(x, y, z)=(x-z, y+z). Prove que T é uma transformação linear.

Passo 1

O enunciado nos dá a aplicação
T\colon \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^2,\quad T(x,y,z) = (\,x - z,\;y + z\,)
e pede para provar que T é linear. Para isso, vamos usar a definição de transformação linear, isto é, mostrar que para quaisquer \mathbf u,\mathbf v\in\mathbb{R}^3 e \alpha\in\mathbb{R} vale
T(\mathbf u+\mathbf v)=T(\mathbf u)+T(\mathbf v) \quad\text{e}\quad T(\alpha\,\mathbf u)=\alpha\,T(\mathbf u).

Passo 2

(Prova da aditividade)
Sejam \mathbf u=(x_1,y_1,z_1) e \mathbf v=(x_2,y_2,z_2). Então
\mathbf u+\mathbf v = (\,x_1+x_2,\;y_1+y_2,\;z_1+z_2\,).
Aplicando T ao vetor soma:
T(\mathbf u+\mathbf v) = \bigl((x_1+x_2)-(z_1+z_2),\;(y_1+y_2)+(z_1+z_2)\bigr)
\;=\bigl(x_1-z_1 + x_2-z_2,\;y_1+z_1 + y_2+z_2\bigr) =\bigl(x_1-z_1,\;y_1+z_1\bigr)+\bigl(x_2-z_2,\;y_2+z_2\bigr)
\;=T(x_1,y_1,z_1)+T(x_2,y_2,z_2) =T(\mathbf u)+T(\mathbf v).

Passo 3

(Prova da homogeneidade)
Seja \alpha\in\mathbb{R} e \mathbf u=(x,y,z). Então
\alpha\,\mathbf u = (\alpha x,\;\alpha y,\;\alpha z) \quad\Longrightarrow\quad T(\alpha\,\mathbf u) =\bigl(\alpha x - \alpha z,\;\alpha y + \alpha z\bigr)
\;=\alpha\,(x - z,\;y + z) =\alpha\,T(x,y,z) =\alpha\,T(\mathbf u).

Passo 4

(Conclusão e forma matricial)
Como T satisfaz aditividade e homogeneidade, concluímos que T é linear. Em particular, escrevendo \mathbf v=(x,y,z), temos
T(\mathbf v) =\begin{pmatrix}1 & 0 & -1\\[6pt]0 & 1 & 1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}x\y\z\end{pmatrix},
ou seja, T(\mathbf v)=A\mathbf v com
A=\begin{pmatrix}1 & 0 & -1\\\ 0 & 1 & 1\end{pmatrix},
e toda aplicação dada por A\mathbf v é linear.]

Resposta

T é transformação linear.

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