Seja
uma transformação definida por
. Prove que
é uma transformação linear.
Passo 1
O enunciado nos dá a aplicação
e pede para provar que
é linear. Para isso, vamos usar a definição de transformação linear, isto é, mostrar que para quaisquer
e
vale
Passo 2
(Prova da aditividade)
Sejam e
. Então
Sejam
Aplicando
ao vetor soma:
Passo 3
(Prova da homogeneidade)
Seja e
. Então
Seja
Passo 4
(Conclusão e forma matricial)
Como satisfaz aditividade e homogeneidade, concluímos que
é linear. Em particular, escrevendo
, temos
Como
ou seja,
com
e toda aplicação dada por
é linear.]