Seja T: R^3 R^2 tal que T(x, y, z)=(x-2 y-3 z,-x+2 y).
a. Achar [T].
b. Considerando a base B1=(1,0,2),(0,1,2),(1,2,0) de R^3 e a base B2=(1,1),(1,0) de R^2, achar [T]B2^B1.

Passo 1

O enunciado nos dá a transformação linear T:R^3toR^2 definida por T(x,y,z)=(x-2y-3z,,-x+2y). Precisamos encontrar: (a) a matriz padrão [T] na base canônica; (b) a matriz de T relativa à base B1=(1,0,2),(0,1,2),(1,2,0) em R^3 e B2=(1,1),(1,0) em R^2.

Passo 2

Para a parte (a), usamos que na base canônica a coluna i de [T] é T(ei). Calculamos:
T(e1)=T(1,0,0)=(1,-1), T(e2)=T(0,1,0)=(-2,2), T(e3)=T(0,0,1)=(-3,0)
Logo:

Passo 3

Para a parte (b), vamos calcular T(vi) para os vetores de B1:
v1=(1,0,2),;T(v1)=(-5,-1), v2=(0,1,2),;T(v2)=(-8,2), v3=(1,2,0),;T(v3)=(-3,3)
Agora escrevemos cada T(vi) como combinação linear de B2=w1=(1,1),w2=(1,0). Por exemplo para T(v1)=(-5,-1) temos:
(-5,-1)=c1(1,1)+c2(1,0)
que leva a c1=-1 e c2=-4, e assim por diante para cada vi.

Passo 4

Depois de encontrar as coordenadas em B2 (colunas) para T(v1),T(v2),T(v3), montamos a matriz de mudança de base:
[T]B2^B1=-1&2&3-4&-10&-6

Resposta

(a)
[T]=1&-2&-3-1&2&0
(b)
[T]B2^B1=-1&2&3-4&-10&-6

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