Seja A a matriz :
A=(rrr 1 & 2 & 3 -1 & 0 & 1 1 & 2 & -1 )
a. Provar que A é inversivel.
b. Calcular a inversa de A.

Passo 1

Temos a matriz
A = 1 & 2 & 3 -1 & 0 & 1 1 & 2 & -1
O objetivo é mostrar que ela é invertível (conteúdo envolve determinantes de matrizes 3×3) e, depois, calcular a inversa (usando matriz adjunta).

Passo 2

Para verificar que A é invertível, calculamos o determinante por expansão por cofatores:
det(A) = 1cdot(0cdot(-1) - 1cdot2) - 2cdot((-1)cdot(-1) - 1cdot1) + 3cdot((-1)cdot2 - 0cdot1) = -8
Como det(A) = -8 neq 0, concluímos que A é invertível.

Passo 3

Para usar a fórmula A^-1 = 1det(A),adj(A), primeiro montamos a matriz dos cofatores C, em que cada entrada Cij = (-1)^i+jMij e Mij é o menor complementar:
C = -2 & 0 & -2 8 & -4 & 0 2 & -4 & 2

Passo 4

Transpondo C, obtemos a adjunta de A:
adj(A) = C^T = -2 & 8 & 2 0 & -4 & -4 -2 & 0 & 2

Passo 5

Finalmente, aplicamos
A^-1 = 1det(A),adj(A) = -tfrac18,adj(A)

Resposta

A^-1 = tfrac14 & -1 & -tfrac14 0 & tfrac12 & tfrac12 tfrac14 & 0 & -tfrac14

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