Considere a transformação linear definida por e as bases , e a base canônica de . Determine e .
Passo 1
O enunciado define por
e pede as matrizes de nas bases , e na base canônica .
Para cada base vamos aplicar aos vetores da base e expressar o resultado em coordenadas nessa mesma base.
Passo 2
Calcular . Na base canônica temos
As colunas da matriz são essas imagens expressas em coordenadas canônicas, logo
Passo 3
Calcular [T]alpha^alpha. Na base alpha=u1=(-1,1),,u2=(1,0):
T(u1)=T(-1,1)=(1,-2). Procuramos c1,c2 tais que
c1(-1,1)+c2(1,0)=(1,-2)
Isso gera o sistema
-,c1+c2=1, c1=-2,
cuja solução é c1=-2,;c2=-1. Essa é a primeira coluna.
2. T(u2)=T(1,0)=(1,1). Resolvendo
c1(-1,1)+c2(1,0)=(1,1)
vem c1=1,;c2=2. Essa é a segunda coluna.
Assim
[T]alpha^alpha = -2 & 1 -1 & 2
Passo 4
Calcular [T]beta^beta. Na base beta=v1=(2,-1),,v2=(-1,1):
T(v1)=T(2,-1)=(0,3). Buscamos
c1(2,-1)+c2(-1,1)=(0,3),
isto é
2c1 - c2=0, -c1+c2=3,
cuja solução é c1=3,;c2=6. Primeira coluna.
2. T(v2)=T(-1,1)=(1,-2). Resolvendo