Considere a transformação linear T: R^2 R^2 definida por T(x, y)= (x+2 y, x-y) e as bases alpha=(-1,1),(1,0), beta=(2,-1),(-1,1) e gamma a base canônica de R^2. Determine [T]alpha^alpha,[T]beta^beta e [T]gamma^gamma.

Passo 1

O enunciado define T:R^2toR^2 por
T(x,y)=(x+2y,;x-y)
e pede as matrizes de T nas bases
alpha=(-1,1),(1,0),
beta=(2,-1),(-1,1) e na base canônica gamma=(1,0),(0,1).
Para cada base vamos aplicar T aos vetores da base e expressar o resultado em coordenadas nessa mesma base.

Passo 2

Calcular [T]gamma^gamma. Na base canônica e1=(1,0),e2=(0,1) temos
T(e1)=T(1,0)=(1,1), T(e2)=T(0,1)=(2,-1)
As colunas da matriz são essas imagens expressas em coordenadas canônicas, logo
[T]gamma^gamma = 1 & 2 1 & -1

Passo 3

Calcular [T]alpha^alpha. Na base alpha=u1=(-1,1),,u2=(1,0):
  1. T(u1)=T(-1,1)=(1,-2). Procuramos c1,c2 tais que
c1(-1,1)+c2(1,0)=(1,-2)
Isso gera o sistema
-,c1+c2=1, c1=-2,
cuja solução é c1=-2,;c2=-1. Essa é a primeira coluna.
2. T(u2)=T(1,0)=(1,1). Resolvendo
c1(-1,1)+c2(1,0)=(1,1)
vem c1=1,;c2=2. Essa é a segunda coluna.
Assim
[T]alpha^alpha = -2 & 1 -1 & 2

Passo 4

Calcular [T]beta^beta. Na base beta=v1=(2,-1),,v2=(-1,1):
  1. T(v1)=T(2,-1)=(0,3). Buscamos
c1(2,-1)+c2(-1,1)=(0,3),
isto é
2c1 - c2=0, -c1+c2=3,
cuja solução é c1=3,;c2=6. Primeira coluna.
2. T(v2)=T(-1,1)=(1,-2). Resolvendo
2c1 - c2=1, -c1+c2=-2
vem c1=-1,;c2=-3. Segunda coluna.
Logo
[T]beta^beta = 3 & -1 6 & -3

Resposta

[T]gamma^gamma=1&21&-1,
[T]alpha^alpha=-2&1-1&2,
[T]beta^beta=3&-16&-3

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