Seja a transformação linear definida por com o produto interno usual.
Podemos dizer que é bijetora?
Passo 1
O enunciado dá uma transformação linear definida por
e pergunta se é bijetora. O conteúdo é teoria de transformações lineares em espaços de dimensão finita, onde uma aplicação é bijetora exatamente quando sua matriz é invertível (determinante não nulo).
Passo 2
Vamos escrever em coordenadas canônicas. Se , então
Portanto, a matriz de T no padrão canônico é
A = 3 & -1 -3 & 1
Passo 3
Calculamos o determinante de A:
det(A) = 3cdot1 - (-1)cdot(-3) = 3 - 3 = 0
Passo 4
Como det(A)=0, a matriz A não é invertível. Logo, a transformação T não é injetiva e, portanto, não é bijetora.