Seja T: R^2 R^2 a transformação linear definida por T(x, y)=(3 x-y,-3 x+y), R^2 com o produto interno usual.
Podemos dizer que T é bijetora?

Passo 1

O enunciado dá uma transformação linear TcolonR^2toR^2 definida por
T(x,y) = (3x - y,,-3x + y),
e pergunta se T é bijetora. O conteúdo é teoria de transformações lineares em espaços de dimensão finita, onde uma aplicação é bijetora exatamente quando sua matriz é invertível (determinante não nulo).

Passo 2

Vamos escrever T em coordenadas canônicas. Se v=(x,y), então
T(v) = 3 & -1 -3 & 1 x y
Portanto, a matriz de T no padrão canônico é
A = 3 & -1 -3 & 1

Passo 3

Calculamos o determinante de A:
det(A) = 3cdot1 - (-1)cdot(-3) = 3 - 3 = 0

Passo 4

Como det(A)=0, a matriz A não é invertível. Logo, a transformação T não é injetiva e, portanto, não é bijetora.

Resposta

Não, T não é bijetora.

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