10 Seja T: R^3 R^3, T(x, y, z)=(2 y-3 z,-2 z, 0). Mostre que T^3=0.

Passo 1

O enunciado define a transformação linear
Tcolon R^3 to R^3, T(x,y,z) = (2y - 3z,,-2z,,0)
e pede para mostrar que a sua terceira iteração é a transformação zero, isto é, T^3 = 0. Para isso, vamos aplicar T sucessivas vezes a um vetor genérico (x,y,z) e verificar que T^3(x,y,z) = (0,0,0).

Passo 2

Primeiro, calculemos T(x,y,z). Por definição,
T(x,y,z) = l(2y - 3z,,-2z,,0r)

Passo 3

Agora aplicamos T novamente ao resultado anterior para obter T^2(x,y,z):
seja
(u,v,w) = T(x,y,z) = l(2y - 3z,,-2z,,0r),
então
T^2(x,y,z) = T(u,v,w) = l(2v - 3w,,-2w,,0r) = l(2(-2z) - 3cdot0,,-2cdot0,,0r) = l(-4z,,0,,0r)

Passo 4

Finalmente, aplicamos T uma terceira vez para obter T^3(x,y,z). Seja
(p,q,r) = T^2(x,y,z) = (-4z,,0,,0),
então
T^3(x,y,z) = T(p,q,r) = l(2q - 3r,,-2r,,0r) = l(2cdot0 - 3cdot0,,-2cdot0,,0r) = (0,0,0)

Passo 5

Como para todo (x,y,z)inR^3 temos T^3(x,y,z)=(0,0,0), concluímos que
T^3 = 0

Resposta

T^3 é a transformação zero em R^3.

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