5 Seja k in R tal que 2^k+2^k-1=192. Se lim x infty(1+kx)^k x=L, calcule ln (L).

Passo 1

O enunciado dá uma equação em k,
2^k+2^k-1=192,
e pede o limite
limxtoinftyl(1+kxr)^k x=L
para depois calcular ln(L).
Vamos primeiro achar k e depois usar um limite exponencial clássico.

Passo 2

Resolvendo
2^k+2^k-1=2^k-1(2+1)=3cdot2^k-1=192
segue que
2^k-1=64=2^6Longrightarrow k-1=6Longrightarrow k=7

Passo 3

Agora calculamos
L=limxtoinftyl(1+kxr)^kx
É conveniente usar o logaritmo natural:
ln(L) =limxtoinftykx;lnl(1+kxr)
Para tto0 vale ln(1+t)=t+o(t), então
lnl(1+kxr) =kx+ol(tfrac1xr),
e daí
ln(L) =limxtoinftykxl(kx+ol(tfrac1xr)r) =limxtoinftyl(k^2 + kxcdot o(tfrac1x)r) =k^2

Passo 4

Substituindo k=7,
ln(L)=7^2=49

Resposta

;49

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