3.6A Calcule o volume do sólido delimitado por uma esfera de raio R. Calclule a integral tripla de duas maneiras: primeiro use coordenadas cilíndricas e, depois, coordenadas esféricas.

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido delimitado por uma esfera de raio R. Precisamos calcular a integral tripla
integral triplaVdV
de duas maneiras: em coordenadas cilíndricas (r,theta,z) e em coordenadas esféricas (rho,phi,theta), usando os jacobianos e limites adequados em cada sistema.

Passo 2

Em coordenadas cilíndricas, a esfera x^2+y^2+z^2<= R^2 fica descrita por
0<= r<= R, 0<= theta<= 2pi, -raizR^2-r^2<= z<= raizR^2-r^2,
e o elemento de volume é dV = r,dr,dtheta,dz. Assim
V = integral0^2piintegral0^Rintegral-raizR^2-r^2^raizR^2-r^2 r,dz,dr,dtheta

Passo 3

Primeiro integramos em z:
integral-raizR^2-r^2^raizR^2-r^2 dz = 2raizR^2-r^2,
ficando
V = integral0^2piintegral0^R 2rraizR^2-r^2,dr,dtheta
Com a substituição u = R^2 - r^2, du = -2r,dr, os limites vão de u=R^2 a u=0, e
integral0^R2rraizR^2-r^2,dr = integralR^2^0raizu,(-du) = integral0^R^2 u^1/2 du = 23R^3
Logo
V = integral0^2pi23R^3,dtheta = 23R^3cdot 2pi = 43pi R^3

Passo 4

Em coordenadas esféricas usamos
0<= rho<= R, 0<= phi<= pi, 0<= theta<= 2pi,
com
dV = rho^2sinphi,drho,dphi,dtheta
Assim
V = integral0^2piintegral0^piintegral0^Rrho^2sinphi,drho,dphi,dtheta

Passo 5

Calculando em sequência:
integral0^Rrho^2,drho = R^33, integral0^pisinphi,dphi = 2, integral0^2pidtheta = 2pi
Multiplicando-os, obtemos
V = R^33cdot 2cdot 2pi = 43pi R^3

Resposta

V = 43pi R^3

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