3.6A Calcule o volume do sólido delimitado por uma esfera de raio
. Calclule a integral tripla de duas maneiras: primeiro use coordenadas cilíndricas e, depois, coordenadas esféricas.
Passo 1
O enunciado pede o volume do sólido delimitado por uma esfera de raio
. Precisamos calcular a integral tripla
de duas maneiras: em coordenadas cilíndricas e em coordenadas esféricas
, usando os jacobianos e limites adequados em cada sistema.
de duas maneiras: em coordenadas cilíndricas
Passo 2
Em coordenadas cilíndricas, a esfera
fica descrita por
e o elemento de volume é
. Assim
Passo 3
Primeiro integramos em
:
ficando
Com a substituição
,
, os limites vão de
a
, e
Logo
Passo 4
Em coordenadas esféricas usamos
com
Assim
Passo 5
Calculando em sequência:
Multiplicando-os, obtemos