Seja f: R R tal que:
  • lim x infty f(x)=lim x infty f^prime(x)=lim x infty f^prime prime(x)=infty
  • lim x infty x f^prime prime prime(x)f^prime prime(x)=2023.
    Calcule lim x infty x f^prime(x)f(x)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão trata de limites envolvendo funções e suas derivadas. Para resolver, vamos precisar entender um pouquinho de cálculo diferencial, especialmente sobre limites e comportamento de funções quando $ x $ tende ao infinito.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar as informações que temos:
  • $ \lim_{x \to \infty} f(x) = \infty $
  • $ \lim_{x \to \infty} f’(x) = \infty $
  • $ \lim_{x \to \infty} f’’(x) = \infty $
  • $ \lim_{x \to \infty} \frac{x f’’’(x)}{f’’(x)} = 2023 $
Queremos encontrar $ \lim_{x \to \infty} \frac{x f’(x)}{f(x)} $.

Passo 3

Vamos começar pela última informação: $ \lim_{x \to \infty} \frac{x f’’’(x)}{f’’(x)} = 2023 $. Isso significa que, para grandes valores de $ x $, podemos aproximar:
limx to infty x f'''(x)f''(x) = 2023

Passo 4

Essa expressão é uma equação diferencial. Vamos resolvê-la para encontrar $ f’’(x) $. Primeiro, escrevemos:
f''(x)
Integrando ambos os lados:
ddx ( ln f''(x) ) = 2023x
Onde $ C $ é a constante de integração.

Passo 5

Desfazendo o logaritmo:
f''(x) = C cdot x^2023
Aqui, $ C $ é uma constante que podemos ignorar para o cálculo do limite, já que estamos interessados no comportamento assintótico.

Passo 6

Agora, vamos integrar $ f’’(x) $ para encontrar $ f’(x) $:
f''(x)
Onde $ D $ é outra constante de integração.

Passo 7

Mais uma integração para encontrar $ f(x) $:
f(x)
Onde $ E $ é mais uma constante de integração.

Passo 8

Agora, temos:
f'(x) approx C2024 x^2024
f(x) approx C2024 cdot 2025 x^2025
Para grandes valores de $ x $, os termos com menores potências de $ x $ e as constantes $ D $ e $ E $ são desprezados.

Passo 9

Vamos calcular o limite desejado:
x f'(x)f(x) approx x cdot C2024 x^2024C2024 cdot 2025 x^2025 = C cdot x^2025 / 2024C cdot x^2025 / (2024 cdot 2025) = 2025
As constantes $ C $ e os termos com $ x^{2025} $ se cancelam, restando apenas o número.

Resposta

limx to infty x f'(x)f(x) = 2025

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