Seja
tal que:
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Calcule
Calcule
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão trata de limites envolvendo funções e suas derivadas. Para resolver, vamos precisar entender um pouquinho de cálculo diferencial, especialmente sobre limites e comportamento de funções quando $ x $ tende ao infinito.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar as informações que temos:
- $ \lim_{x \to \infty} f(x) = \infty $
- $ \lim_{x \to \infty} f’(x) = \infty $
- $ \lim_{x \to \infty} f’’(x) = \infty $
- $ \lim_{x \to \infty} \frac{x f’’’(x)}{f’’(x)} = 2023 $
Queremos encontrar $ \lim_{x \to \infty} \frac{x f’(x)}{f(x)} $.
Passo 3
Vamos começar pela última informação: $ \lim_{x \to \infty} \frac{x f’’’(x)}{f’’(x)} = 2023 $. Isso significa que, para grandes valores de $ x $, podemos aproximar:
Passo 4
Essa expressão é uma equação diferencial. Vamos resolvê-la para encontrar $ f’’(x) $. Primeiro, escrevemos:
Integrando ambos os lados:
Onde $ C $ é a constante de integração.
Passo 5
Desfazendo o logaritmo:
Aqui, $ C $ é uma constante que podemos ignorar para o cálculo do limite, já que estamos interessados no comportamento assintótico.
Passo 6
Agora, vamos integrar $ f’’(x) $ para encontrar $ f’(x) $:
Onde $ D $ é outra constante de integração.
Passo 7
Mais uma integração para encontrar $ f(x) $:
Onde $ E $ é mais uma constante de integração.
Passo 8
Agora, temos:
Para grandes valores de $ x $, os termos com menores potências de $ x $ e as constantes $ D $ e $ E $ são desprezados.
Passo 9
Vamos calcular o limite desejado:
As constantes $ C $ e os termos com $ x^{2025} $ se cancelam, restando apenas o número.