Considere a função dada analiticamente por: ( 1,5 ponto)
y=arctg(xx^3-2 x^2+4 x)
E responda:
a) Há pontos de descontinuidade para esta função? Quais?
b) Classifique as descontinuidades quanto ao tipo, se aplicável.
c) Em caso de descontinuidade de segunda espécie, determine se a função é contínua à esquerda ou à direita, se for aplicável.

Passo 1

O enunciado pede para estudar a continuidade da função
y=arctanl(xx^3-2x^2+4xr)
O conteúdo é análise de continuidade e tipos de descontinuidade, e vamos precisar achar onde o denominador zera e classificar o que acontece nesses pontos.

Passo 2

Para encontrar o domínio, exige-se que o denominador não seja zero. Note que
x^3-2x^2+4x = xl(x^2 -2x +4r)
E como x^2-2x+4=(x-1)^2+3>0 para todo x, o único zero ocorre em x=0. Portanto a função está definida para xneq0.

Passo 3

Para ver o tipo de descontinuidade em x=0, simplificamos para xneq0:
xxl((x-1)^2+3r)=1(x-1)^2+3
Logo a função se torna
f(x)=arctanl(tfrac1(x-1)^2+3r)
e ao aproximar xto0 temos (x-1)^2+3to4, então
limxto0f(x)=arctanl(tfrac14r)
que é finito.

Passo 4

Como o limite unilateral esquerdo e direito em 0 coincidem e são finitos, mas a função não está definida em 0, trata-se de descontinuidade removível (ou de primeira espécie).

Passo 5

Não há descontinuidade de segunda espécie, logo a parte © não se aplica.

Resposta

a) A única descontinuidade ocorre em x=0.
b) É uma descontinuidade removível (de primeira espécie).
c) Não se aplica, pois não há descontinuidade de segunda espécie.

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