Seja T: R[x]2 R[x]2 tal que
[T]C^B=(ccc 2 & 0 & 1 0 & 1 & 1 2 & 1 & 1 )
onde B=1,1+x, 1+x^2 e C=x, 1+x+x^2, 1-x.
Verifique se T é diagonalizável. Caso seja, encontre uma base que diagonaliza T.

Passo 1

O enunciado dá uma transformação linear
;T:R[x]2toR[x]2; e a matriz de T que leva coordenadas na base
B=1,1+x,1+x^2 do domínio para coordenadas na base
C=x,,1+x+x^2,,1-x do contradomínio:
[T] C^ B = 2&0&1 0&1&1 2&1&1
Queremos verificar se T é diagonalizável e, em caso afirmativo, dar uma base de R[x]2 formada por autovetores de T. Para isso precisamos (i) encontrar o polinômio característico da matriz, (ii) mostrar que tem três raízes reais distintas e (iii) escrever, para cada valor próprio lambda, um vetor não nulo v que satisfaça
l([T] C^ B-lambda Ir)v=0,
e então converter v em um polinômio da forma
v1cdot1 + v2,(1+x) + v3,(1+x^2).

Passo 2

Calculemos o polinômio característico de
A=[T] C^ B.
chiA(lambda) =det! 2-lambda&0&1 0&1-lambda&1 2&1&1-lambda
Expandindo pela primeira linha:
chiA(lambda) =(2-lambda)l((1-lambda)^2-1r) +1l(0-2(1-lambda)r)
Como (1-lambda)^2-1=lambda^2-2lambda, segue
chiA(lambda) =(2-lambda)(lambda^2-2lambda)-2(1-lambda) =-lambda(lambda-2)^2+2lambda-2 =lambda^3-4lambda^2+2lambda+2

Passo 3

Procuramos raízes reais de
chiA(lambda)=lambda^3-4lambda^2+2lambda+2=0.
Pelo método de mudanças de sinal (ou cálculo aproximado), encontram-se três raízes reais e distintas, aproximadamente
lambda1approx -0,48, lambda2approx 1,31, lambda3approx 3,17
Como as três raízes são distintas, cada autovalor tem multiplicidade geométrica 1 e, portanto, T é diagonalizável.

Passo 4

Para um valor próprio genérico
i.e.
Das duas primeiras equações obtemos
Escolhendo vem dado por
]

Passo 5

Cada vetor v(lambdai) representa um polinômio da forma
pi(x) =1cdot1 +lambdai-2lambdai-1(1+x) +(,lambdai-2,),(1+x^2)
Para lambda1,lambda2,lambda3 definidos acima, os três polinômios
p1,p2,p3 são autovetores de T linearmente independentes.
Logo, essa é uma base de R[x]2 que diagonaliza T.

Resposta

T é diagonalizável porque o polinômio característico
lambda^3-4lambda^2+2lambda+2 tem três raízes reais distintas.
Uma base de eigenpolinômios é
pi(x) =1+lambdai-2lambdai-1(1+x) +(lambdai-2)(1+x^2), i=1,2,3,
onde lambda1approx -0,48, lambda2approx1,31, lambda3approx3,17.

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