onde B=1,1+x, 1+x^2 e C=x, 1+x+x^2, 1-x.
Verifique se T é diagonalizável. Caso seja, encontre uma base que diagonaliza T.
Passo 1
O enunciado dá uma transformação linear ;T:R[x]2toR[x]2; e a matriz de T que leva coordenadas na base B=1,1+x,1+x^2 do domínio para coordenadas na base C=x,,1+x+x^2,,1-x do contradomínio:
[T] C^ B = 2&0&1 0&1&1 2&1&1
Queremos verificar se T é diagonalizável e, em caso afirmativo, dar uma base de R[x]2 formada por autovetores de T. Para isso precisamos (i) encontrar o polinômio característico da matriz, (ii) mostrar que tem três raízes reais distintas e (iii) escrever, para cada valor próprio lambda, um vetor não nulo v que satisfaça l([T] C^ B-lambda Ir)v=0,
e então converter v em um polinômio da forma v1cdot1 + v2,(1+x) + v3,(1+x^2).
Passo 2
Calculemos o polinômio característico de A=[T] C^ B.
Procuramos raízes reais de chiA(lambda)=lambda^3-4lambda^2+2lambda+2=0.
Pelo método de mudanças de sinal (ou cálculo aproximado), encontram-se três raízes reais e distintas, aproximadamente
Para lambda1,lambda2,lambda3 definidos acima, os três polinômios p1,p2,p3 são autovetores de T linearmente independentes.
Logo, essa é uma base de R[x]2 que diagonaliza T.
Resposta
T é diagonalizável porque o polinômio característico lambda^3-4lambda^2+2lambda+2 tem três raízes reais distintas.
Uma base de eigenpolinômios é