Seja T: R[x]2 R[x]2 tal que
[T]C^B=(ccc 2 & 0 & 1 0 & 1 & 1 2 & 1 & 1 )
onde B=1,1+x, 1+x^2 e C=x, 1+x+x^2, 1-x.
Encontre o polinômio característico de T.

Passo 1

O enunciado dá um operador linear
T:R[x]2toR[x]2
e fornece a matriz de T que vai da base B=1,1+x,1+x^2 para a base C=x,,1+x+x^2,,1-x:
[T]C^B = 2 & 0 & 1 0 & 1 & 1 2 & 1 & 1
Como o polinômio característico é independente da escolha de base, basta encontrar a representação de T numa só base (por exemplo B) e calcular
chiT(lambda)=detl([T]B^B-lambda Ir)

Passo 2

Vamos obter a matriz de T na base B. Primeiro precisamos da mudança de coordenadas que leva coordenadas em C para coordenadas em B. Chamemos essa matriz de P. Suas colunas são as coordenadas, na base B, dos vetores de C.

Passo 3

Expressamos cada vetor de C na base B:
  1. x = acdot1 + b,(1+x) + c,(1+x^2) b=1, c=0, a=-1.
  2. 1+x+x^2 = acdot1 + b,(1+x) + c,(1+x^2) b=1, c=1, a=-1.
  3. 1-x = acdot1 + b,(1+x) + c,(1+x^2) b=-1, c=0, a=2.
    Logo
P = [,Id,]C^B = -1 & -1 & 2 1 & 1 & -1 0 & 1 & 0

Passo 4

A matriz de T na base B é
[T]B^B = P,[T]C^B = -1 & -1 & 2 1 & 1 & -1 0 & 1 & 0 2 & 0 & 1 0 & 1 & 1 2 & 1 & 1 = -2 & 1 & 0 0 & 2 & 1 4 & -1 & 1

Passo 5

Agora montamos [T]B^B-lambda I e calculamos o determinante:
-2-lambda & 1 & 0 0 & 2-lambda & 1 4 & -1 & 1-lambda =( -2-lambda)l((2-lambda)(1-lambda)+1r) -1l(0cdot(1-lambda)-4r)
Dentro do parêntese:
(2-lambda)(1-lambda)+1 =lambda^2-3lambda+3
Assim
chiT(lambda) =-(lambda+2)(lambda^2-3lambda+3)+4 =-lambda^3+lambda^2+3lambda-2 =lambda^3-lambda^2-3lambda+2

Resposta

chiT(lambda)=lambda^3-lambda^2-3lambda+2

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