Consideremos o operador , definido por: .
Para cada operator, encontre o que se pede a seguir: é diagonalizável? Justifique.
Passo 1
O enunciado define o operador linear
e pergunta se é diagonalizável. Para responder, vamos (i) montar a matriz de na base padrão, (ii) obter o polinômio característico e as multiplicidades algébrica e geométrica do único autovalor, e (iii) aplicar o critério de diagonalização: é diagonalizável se, para cada autovalor, a multiplicidade geométrica (dimensão do autespaço) coincide com a algébrica.
Passo 2
Na base padrão temos
Logo a matriz de é
Passo 3
Vemos que A é bloco-triangular em
2times2 & 2times2[6pt]2times2 & 2times2
com o bloco superior direito nulo, de modo que
Sobram 2 graus de liberdade (por exemplo x e z), logo dimker(A-I)=2. Essa é a multiplicidade geométrica do autovalor 1.
Resposta
T não é diagonalizável, pois o autovalor lambda=1 tem multiplicidade algébrica 4 e multiplicidade geométrica 2, e portanto não há base de R^4 formada por autovetores de T.