Consideremos o operador T: R^4 R^4, definido por:
T(x, y, z, w)=(3 x+y,-4 x-y, 7 x+y+2 z+w,-17 x-6 y-z).
Para cada operator, encontre o que se pede a seguir:
T é diagonalizável? Justifique.

Passo 1

O enunciado define o operador linear
Tcolon R^4toR^4, T(x,y,z,w)=(3x+y,,-4x-y,,7x+y+2z+w,,-17x-6y-z),
e pergunta se T é diagonalizável. Para responder, vamos (i) montar a matriz de T na base padrão, (ii) obter o polinômio característico e as multiplicidades algébrica e geométrica do único autovalor, e (iii) aplicar o critério de diagonalização: T é diagonalizável se, para cada autovalor, a multiplicidade geométrica (dimensão do autespaço) coincide com a algébrica.

Passo 2

Na base padrão e1,e2,e3,e4 temos
T(e1)=(3,-4,7,-17),; T(e2)=(1,-1,1,-6),; T(e3)=(0,0,2,-1),; T(e4)=(0,0,1,0)
Logo a matriz de T é
A= 3 & 1 & 0 & 0 -4 & -1 & 0 & 0 7 & 1 & 2 & 1 -17 & -6 & -1 & 0

Passo 3

Vemos que A é bloco-triangular em
2times2 & 2times2[6pt]2times2 & 2times2
com o bloco superior direito nulo, de modo que
det(A-lambda I) =det!3-lambda & 1-4 & -1-lambda ;cdot;det!2-lambda & 1-1 & -lambda
Calculando cada determinante:
det!3-lambda & 1-4 & -1-lambda =(3-lambda)(-1-lambda)+4 =lambda^2-2lambda+1=(lambda-1)^2,
det!2-lambda & 1-1 & -lambda =(2-lambda)(-lambda)+1 =lambda^2-2lambda+1=(lambda-1)^2
Assim
det(A-lambda I)=(lambda-1)^2cdot(lambda-1)^2=(lambda-1)^4,
logo o único autovalor é lambda=1 com multiplicidade algébrica 4.]

Passo 4

Para o autovalor lambda=1 resolvemos
(A-I)v=0, v=(x,y,z,w)
Isso dá o sistema
2x+y=0, -4x-2y=0 (repetida), 7x+y+z+w=0, -17x-6y-z-w=0 (repetida)
Da primeira equação vem y=-2x. Da terceira vem
7x+(-2x)+z+w=0 ;Longrightarrow;z+w=-5x
Sobram 2 graus de liberdade (por exemplo x e z), logo
dimker(A-I)=2. Essa é a multiplicidade geométrica do autovalor 1.

Resposta

T não é diagonalizável, pois o autovalor lambda=1 tem multiplicidade algébrica 4 e multiplicidade geométrica 2, e portanto não há base de R^4 formada por autovetores de T.

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