Para uma viga engastada submetida a uma carga, modele a deflexão da viga com módulo de elasticidade de 70 MPa e secção transversal quadrada de b=30 cm, considere o comprimento da barra de L=10 m. A viga está sujeita a uma distribuição de carga cujo módulo varia com x :
omega(x)=omega0 sin (pi xLx)
Sendo omega0=4.6 kN / m. Determine:
A equação diferencial, modo estático, que governa o deslocamento vertical e a solução geral (considere que o carregamento é uniforme).

Passo 1

Beleza, vamos entender o que o problema está pedindo. Temos uma viga engastada (ou seja, fixada em uma extremidade) com comprimento de L = 10 , m . Ela tem uma seção transversal quadrada de lado b = 30 , cm e é feita de um material com módulo de elasticidade E = 70 , MPa . A viga está sujeita a uma carga distribuída que varia ao longo do comprimento, dada por:
omega(x) = omega0 sin(pi xL)
onde omega0 = 4.6 , kN/m .
Matéria envolvida: Vamos trabalhar com a teoria de flexão de vigas, que relaciona a carga aplicada à viga com o seu deslocamento vertical (deflexão).
O que precisamos para resolver:
  1. Conhecer a formulação básica das equações diferenciais que descrevem a deflexão de vigas.
  2. Aplicar as condições de contorno para uma viga engastada.
  3. Resolver a equação diferencial para encontrar a solução geral.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a equação diferencial que governa a deflexão y(x) de uma viga submetida a uma carga distribuída omega(x) . A equação básica da teoria de Euler-Bernoulli para flexão de vigas é:
EI d^4 ydx^4 = omega(x)
Onde:
  • E é o módulo de elasticidade do material.
  • I é o momento de inércia da seção transversal da viga.
  • y(x) é a deflexão vertical em um ponto x ao longo da viga.
  • omega(x) é a carga distribuída aplicada.

Passo 3

Vamos calcular o momento de inércia I para a seção transversal quadrada. Para uma seção quadrada de lado b , o momento de inércia é dado por:
I = b^412
Substituindo b = 30 , cm = 0.3 , m :
I = (0.3)^412 = 0.008112 = 0.000675 , m^4

Passo 4

Agora, substituímos E e I na equação diferencial:
EI d^4 ydx^4 = omega(x)
70 times 10^6 , Pa times 0.000675 , m^4 times d^4 ydx^4 = omega0 sin(pi xL)
Simplificando o lado esquerdo:
47,250 times d^4 ydx^4 = 4.6 times 10^3 sin(pi x10)

Passo 5

Vamos reescrever a equação para facilitar os cálculos:
d^4 ydx^4 = 4.6 times 10^347,250 sin(pi x10)
d^4 ydx^4 approx 0.0973 sin(pi x10)
Esta é a equação diferencial que governa o deslocamento vertical y(x) da viga sob a carga dada.

Passo 6

Agora, vamos considerar o caso de carregamento uniforme, ou seja, uma carga constante ao longo da viga. Isso significa que omega(x) = omega0 , onde omega0 = 4.6 , kN/m .
Substituindo na equação diferencial:
EI d^4 ydx^4 = omega0
Dividindo ambos os lados por EI :
d^4 ydx^4 = omega0EI

Passo 7

Vamos resolver a equação diferencial de ordem 4:
d^4 ydx^4 = omega0EI
A solução geral dessa equação é a soma da solução da equação homogênea (onde o lado direito é zero) e uma solução particular.
Solução da equação homogênea:
d^4 ydx^4 = 0
Integrando quatro vezes:
y(x) = C1 x^3 + C2 x^2 + C3 x + C4
Solução particular:
Como o lado direito é uma constante, uma solução particular yp será da forma:
yp(x) = A x^4
Derivando quatro vezes:
d^4 ypdx^4 = 24A
Igualando à equação original:
24A = omega0EI implies A = omega024 EI
Portanto, a solução particular é:
yp(x) = omega024 EI x^4

Passo 8

Juntando as soluções homogênea e particular, a solução geral y(x) é:
y(x) = C1 x^3 + C2 x^2 + C3 x + C4 + omega024 EI x^4
Onde C1, C2, C3, C4 são constantes de integração que serão determinadas pelas condições de contorno da viga.

Resposta

A equação diferencial que governa o deslocamento vertical da viga engastada sob carregamento uniforme é:
d^4 ydx^4 = omega0EI
E a solução geral dessa equação é:
y(x) = C1 x^3 + C2 x^2 + C3 x + C4 + omega024 EI x^4
Onde C1, C2, C3, C4 são constantes que podem ser determinadas com base nas condições de contorno da viga.

Exercícios relacionados