Para uma viga engastada submetida a uma carga, modele a deflexão da viga com módulo de elasticidade de 70 MPa e secção transversal quadrada de
, considere o comprimento da barra de
. A viga está sujeita a uma distribuição de carga cujo módulo varia com x :
Sendo
. Determine:
A equação diferencial, modo estático, que governa o deslocamento vertical e a solução geral (considere que o carregamento é uniforme).
A equação diferencial, modo estático, que governa o deslocamento vertical e a solução geral (considere que o carregamento é uniforme).
Passo 1
Beleza, vamos entender o que o problema está pedindo. Temos uma viga engastada (ou seja, fixada em uma extremidade) com comprimento de
. Ela tem uma seção transversal quadrada de lado
e é feita de um material com módulo de elasticidade
. A viga está sujeita a uma carga distribuída que varia ao longo do comprimento, dada por:
onde
.
Matéria envolvida: Vamos trabalhar com a teoria de flexão de vigas, que relaciona a carga aplicada à viga com o seu deslocamento vertical (deflexão).
O que precisamos para resolver:
- Conhecer a formulação básica das equações diferenciais que descrevem a deflexão de vigas.
- Aplicar as condições de contorno para uma viga engastada.
- Resolver a equação diferencial para encontrar a solução geral.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a equação diferencial que governa a deflexão
de uma viga submetida a uma carga distribuída
. A equação básica da teoria de Euler-Bernoulli para flexão de vigas é:
Onde:
-
é o módulo de elasticidade do material. -
é o momento de inércia da seção transversal da viga. -
é a deflexão vertical em um ponto ao longo da viga. -
é a carga distribuída aplicada.
Passo 3
Vamos calcular o momento de inércia
para a seção transversal quadrada. Para uma seção quadrada de lado
, o momento de inércia é dado por:
Substituindo
:
Passo 4
Agora, substituímos
e
na equação diferencial:
Simplificando o lado esquerdo:
Passo 5
Vamos reescrever a equação para facilitar os cálculos:
Esta é a equação diferencial que governa o deslocamento vertical
da viga sob a carga dada.
Passo 6
Agora, vamos considerar o caso de carregamento uniforme, ou seja, uma carga constante ao longo da viga. Isso significa que
, onde
.
Substituindo na equação diferencial:
Dividindo ambos os lados por
:
Passo 7
Vamos resolver a equação diferencial de ordem 4:
A solução geral dessa equação é a soma da solução da equação homogênea (onde o lado direito é zero) e uma solução particular.
Solução da equação homogênea:
Integrando quatro vezes:
Solução particular:
Como o lado direito é uma constante, uma solução particular
será da forma:
Derivando quatro vezes:
Igualando à equação original:
Portanto, a solução particular é:
Passo 8
Juntando as soluções homogênea e particular, a solução geral
é:
Onde
são constantes de integração que serão determinadas pelas condições de contorno da viga.
Resposta
A equação diferencial que governa o deslocamento vertical da viga engastada sob carregamento uniforme é:
E a solução geral dessa equação é:
Onde
são constantes que podem ser determinadas com base nas condições de contorno da viga.