Seja
tal que
, para todo
. Mostre que existem polinômios
tais que
(Sugestão: Mostre que o produto da soma de quadrados é uma soma de quadrados, decomponha
como produto de fatores da forma (
e use o resultado anterior. Veja o exercício 7 deste trabalho.)
Passo 1
Estamos trabalhando com polinômios reais não negativos em toda a reta, e o objetivo é escrever f(X) como soma de dois quadrados de polinômios. Vamos usar decomposição em fatores irreduzíveis e uma identidade de soma de quadrados.
Passo 2
Como f(X)≥0 para todo X∈ℝ, todos os seus fatores lineares sobre ℝ aparecem com multiplicidade par, e os fatores quadráticos sem raízes reais têm discriminante negativo. Assim podemos escrever
com c>0 e b_j^2-4c_j<0.
Passo 3
Cada fator individual é já uma soma de quadrados de polinômios de grau 1 ou 0. De fato, para cada i,
e para cada j, escrevemos
Passo 4
Precisamos agora mostrar que o produto de duas somas de quadrados é também soma de quadrados. Para polinômios A,B,C,D em ℝ[X] vale a identidade clássica
Passo 5
Aplicando recorrentemente essa identidade a todos os fatores de f(X), começando com as somas de quadrados de cada fator, obtemos polinômios g(X) e h(X) tais que
Passo 6
Concluímos assim a existência desejada de g,h∈ℝ[X] que somados em quadrado reproduzem f(X).
Resposta
Existem g(X),h(X)∈ℝ[X] tais que f(X)=g(X)2+h(X)2, obtidos aplicando a decomposição em fatores irreduzíveis e a identidade (A2+B2)(C2+D2)=(AC−BD)2+(AD+BC)2.