Seja f(X) in R[X] tal que f(x) >= 0, para todo x in R. Mostre que existem polinômios g(X), h(X) in R[X] tais que
f(X)=g(X)^2+h(X)^2
(Sugestão: Mostre que o produto da soma de quadrados é uma soma de quadrados, decomponha f(X) como produto de fatores da forma ( X+ a)^2+b^2 e use o resultado anterior. Veja o exercício 7 deste trabalho.)

Passo 1

Estamos trabalhando com polinômios reais não negativos em toda a reta, e o objetivo é escrever f(X) como soma de dois quadrados de polinômios. Vamos usar decomposição em fatores irreduzíveis e uma identidade de soma de quadrados.

Passo 2

Como f(X)≥0 para todo X∈ℝ, todos os seus fatores lineares sobre ℝ aparecem com multiplicidade par, e os fatores quadráticos sem raízes reais têm discriminante negativo. Assim podemos escrever
f(X)=cprodi(X-ri)^2ei;prodjl(X^2+bjX+cjr)
com c>0 e b_j^2-4c_j<0.

Passo 3

Cada fator individual é já uma soma de quadrados de polinômios de grau 1 ou 0. De fato, para cada i,
(X-ri)^2ei=l((X-ri)^eir)^2+0^2,
e para cada j, escrevemos
X^2+bjX+cj=l(X+bj2r)^2+l(raiz4cj-bj^22r)^2

Passo 4

Precisamos agora mostrar que o produto de duas somas de quadrados é também soma de quadrados. Para polinômios A,B,C,D em ℝ[X] vale a identidade clássica
(A^2+B^2)(C^2+D^2)=(AC-BD)^2+(AD+BC)^2

Passo 5

Aplicando recorrentemente essa identidade a todos os fatores de f(X), começando com as somas de quadrados de cada fator, obtemos polinômios g(X) e h(X) tais que
f(X)=g(X)^2+h(X)^2

Passo 6

Concluímos assim a existência desejada de g,h∈ℝ[X] que somados em quadrado reproduzem f(X).

Resposta

Existem g(X),h(X)∈ℝ[X] tais que f(X)=g(X)2+h(X)2, obtidos aplicando a decomposição em fatores irreduzíveis e a identidade (A2+B2)(C2+D2)=(AC−BD)2+(AD+BC)2.

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