Um tanque de água no formato de um cone com vértice para baixo, de raio
e altura 48 m , recebe água com velocidade
. Qual é a velocidade de crescimento da altura da água, quando esta altura é igual a
?
[Obs: para resposta não inteira, usar 2 casas decimais após a vírgula; não colocar a unidade.]
Resposta:
[Obs: para resposta não inteira, usar 2 casas decimais após a vírgula; não colocar a unidade.]
Resposta:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! Temos um tanque de água que tem a forma de um cone, com o vértice para baixo. Ele tem raio de 16 metros e altura de 48 metros. A água está entrando nesse tanque a uma velocidade de
. Queremos descobrir quão rápido a altura da água está aumentando quando essa altura é de 12 metros. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo relacionados a taxas de variação, especificamente as derivadas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a fórmula do volume de um cone, que é dada por:
Onde:
- $ V $ é o volume,
- $ r $ é o raio da base,
- $ h $ é a altura.
Mas como o tanque é um cone com vértice para baixo e sabemos a proporção entre o raio e a altura, podemos relacionar $ r $ e $ h $.
Passo 3
Usando semelhança de triângulos, temos que o raio do nível da água $ r $ está relacionado com a altura $ h $ da água da seguinte forma:
Isso simplifica nossa fórmula do volume para depender apenas de $ h $.
Passo 4
Substituindo $ r = \frac{h}{3} $ na fórmula do volume:
Então, o volume em função da altura é $ V = \frac{\pi h^{3}}{27} $.
Passo 5
Agora, vamos derivar essa equação em relação ao tempo $ t $ para encontrar como a altura $ h $ está mudando com o tempo:
Queremos isolar $ \frac{dh}{dt} $.
Passo 6
Rearranjando a equação para encontrar $ \frac{dh}{dt} $:
Sabemos que $ \frac{dV}{dt} = 1024 \pi $, então substituindo: