f(x)=sen(3 x)
$$
M=f{\prime}\left(\frac{\pi}{3}\right)+f{\prime \prime}\left(\frac{\pi}{2}\right)+f^{\prime \prime \prime}\left(\frac{2 \pi}{3}\right) , a terça parte de M vale: -21

Passo 1

Vamos resumir: temos a função f(x)=sen(3x) e queremos calcular M=f’(π/3)+f’’(π/2)+f’’’(2π/3) e depois encontrar a terça parte de M. O conteúdo aqui é derivadas de funções compostas e valores de seno e cosseno em ângulos notáveis.

Passo 2

Primeiro, vamos achar as derivadas de f aplicando a regra da cadeia. A derivada de sen(u) é cos(u)·u’. Assim:
f'(x) = 3cos(3x)
f''(x) = ddxl(3cos(3x)r) = 3l(-sin(3x)r)cdot3 = -9sin(3x)
f'''(x) = ddxl(-9sin(3x)r) = -9cos(3x)cdot3 = -27cos(3x)

Passo 3

Agora, avaliamos cada derivada nos pontos indicados. Lembre-se dos valores: cos(π)=–1, sin(3π/2)=–1 e cos(2π)=1.

Passo 4

Para f’(π/3):
f'(π/3) = 3cos(π) = 3cdot(-1) = -3

Passo 5

Para f’’(π/2):
f''(π/2) = -9sinl(3·(π/2)r) = -9sin(3π/2) = -9cdot(-1) = 9

Passo 6

Para f’’’(2π/3):
f'''(2π/3) = -27cosl(3·(2π/3)r) = -27cos(2π) = -27cdot1 = -27

Passo 7

Somando esses resultados, temos M = -3 + 9 + (-27) = -21. Finalmente, a terça parte de M é M/3 = -21/3 = -7.

Resposta

-7

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