$$
M=f{\prime}\left(\frac{\pi}{3}\right)+f{\prime \prime}\left(\frac{\pi}{2}\right)+f^{\prime \prime \prime}\left(\frac{2 \pi}{3}\right) , a terça parte de M vale: -21
M=f{\prime}\left(\frac{\pi}{3}\right)+f{\prime \prime}\left(\frac{\pi}{2}\right)+f^{\prime \prime \prime}\left(\frac{2 \pi}{3}\right) , a terça parte de M vale: -21
Passo 1
Vamos resumir: temos a função f(x)=sen(3x) e queremos calcular M=f’(π/3)+f’’(π/2)+f’’’(2π/3) e depois encontrar a terça parte de M. O conteúdo aqui é derivadas de funções compostas e valores de seno e cosseno em ângulos notáveis.
Passo 2
Primeiro, vamos achar as derivadas de f aplicando a regra da cadeia. A derivada de sen(u) é cos(u)·u’. Assim:
Passo 3
Agora, avaliamos cada derivada nos pontos indicados. Lembre-se dos valores: cos(π)=–1, sin(3π/2)=–1 e cos(2π)=1.
Passo 4
Para f’(π/3):
Passo 5
Para f’’(π/2):
Passo 6
Para f’’’(2π/3):
Passo 7
Somando esses resultados, temos M = -3 + 9 + (-27) = -21. Finalmente, a terça parte de M é M/3 = -21/3 = -7.
Resposta
-7