O consumo de CPU de um servidor durante uma operação é uma variável aleatória X com densidade:
f_{X}(x)=\frac{x}{2}, 0<x<k
O aquecimento da GPU do mesmo servidor é uma variável aleatória Y com densidade:
f_{Y}(y)=\frac{y^{3}}{4}, 0<y<2
  1. Deterinime valui ue \kappa.
  2. Escreva a função de densidade de probabilidade conjunta de X e Y.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que ele pede (sem resolver nada ainda).
  • Dado:
    • A variável aleatória consumo de CPU X tem densidade f_X(x)=\frac{x}{2},\quad 0<x<\kappa,onde \kappa é uma constante desconhecida que precisamos determinar.
    • A variável aleatória aquecimento da GPU Y tem densidade f_Y(y)=\frac{y^{3}}{4},\quad 0<y<2.
  • O enunciado pede:
    4. Determinar o valor de \kappa.
    5. Escrever a função densidade conjunta de X e Y.

Passo 2

Entendendo a condição que determina \kappa: uma função densidade de probabilidade deve integrar 1 sobre todo o seu suporte. Isso vem da definição de densidade: a probabilidade total é 1. Para uma variável contínua X com densidade f_X temos a condição
\int_{-\infty}^{\infty} f_X(x)\,dx = 1.
Aqui o suporte é 0<x<\kappa, então a condição fica
\int_{0}^{\kappa} \frac{x}{2}\,dx = 1.
Vou resolver essa integral passo a passo.

Passo 3

Calcule a integral para achar \kappa.
  • Primeiro, integrar \dfrac{x}{2}: \int \frac{x}{2}\,dx = \frac{1}{2}\int x\,dx = \frac{1}{2}\cdot\frac{x^{2}}{2}=\frac{x^{2}}{4}.
  • Avaliando de 0 a \kappa: \int_{0}^{\kappa}\frac{x}{2}\,dx = \left.\frac{x^{2}}{4}\right|_{0}^{\kappa} = \frac{\kappa^{2}}{4}-0=\frac{\kappa^{2}}{4}.
  • Impor a condição de normalização \dfrac{\kappa^{2}}{4}=1 e resolver para \kappa: \frac{\kappa^{2}}{4}=1 \quad\Rightarrow\quad \kappa^{2}=4 \quad\Rightarrow\quad \kappa=2,tomando a raiz positiva porque o suporte é 0<x<\kappa com \kappa>0.

Passo 4

Verificação rápida (opcional, mas didático): com \kappa=2, a densidade de X fica \dfrac{x}{2} em 0<x<2. Podemos conferir que integra 1:
\int_{0}^{2}\frac{x}{2}\,dx=\left.\frac{x^{2}}{4}\right|_{0}^{2}=\frac{4}{4}=1.
Também é útil notar que a densidade de Y dada já está normalizada: \int_{0}^{2}\dfrac{y^{3}}{4}\,dy=1 (pode verificar da mesma forma).

Passo 5

Agora escrever a densidade conjunta f_{X,Y}(x,y). Se não há informação de dependência entre X e Y, a hipótese usual (e necessária para escrever uma forma simples da conjunta) é que X e Y são independentes. Para variáveis contínuas independentes valem:
f_{X,Y}(x,y)=f_X(x)\,f_Y(y)
no produto dos suportes. Vou adotar essa hipótese porque o enunciado não fornece nenhuma relação de dependência entre X e Y.

Passo 6

Multiplicar as densidades marginais (com \kappa=2) para obter a conjunta e explicitar o suporte.
  • Para 0<x<2 e 0<y<2: f_{X,Y}(x,y)=\frac{x}{2}\cdot\frac{y^{3}}{4}=\frac{x\,y^{3}}{8}.
  • Fora desse retângulo do suporte (i.e. se x\le0 ou x\ge2 ou y\le0 ou y\ge2), a densidade conjunta vale 0.
  • Podemos checar rapidamente a normalização da conjunta usando fatorização: \iint f_{X,Y}(x,y)\,dx\,dy=\left(\int_{0}^{2}\frac{x}{2}\,dx\right)\left(\int_{0}^{2}\frac{y^{3}}{4}\,dy\right)=1\cdot1=1,o que confirma que a função conjunta está corretamente normalizada quando assumimos independência.

Resposta

\kappa=2
f_{X,Y}(x,y)=\begin{cases} \dfrac{x\,y^{3}}{8}, & 0<x<2,\\\ 0<y<2,\\[6pt] 0, & \text{caso contrário.} \end{cases}á]

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