O consumo de CPU de um servidor durante uma operação é uma variável aleatória X com densidade:
f_{X}(x)=\frac{x}{2}, 0<x<k
O aquecimento da GPU do mesmo servidor é uma variável aleatória Y com densidade:
f_{Y}(y)=\frac{y^{3}}{4}, 0<y<2
Deterinime valui ue \kappa.
Escreva a função de densidade de probabilidade conjunta de X e Y.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que ele pede (sem resolver nada ainda).
Dado:
A variável aleatória consumo de CPU X tem densidadef_X(x)=\frac{x}{2},\quad 0<x<\kappa,onde \kappa é uma constante desconhecida que precisamos determinar.
A variável aleatória aquecimento da GPU Y tem densidadef_Y(y)=\frac{y^{3}}{4},\quad 0<y<2.
O enunciado pede:
4. Determinar o valor de \kappa.
5. Escrever a função densidade conjunta de X e Y.
Passo 2
Entendendo a condição que determina \kappa: uma função densidade de probabilidade deve integrar 1 sobre todo o seu suporte. Isso vem da definição de densidade: a probabilidade total é 1. Para uma variável contínua X com densidade f_X temos a condição
\int_{-\infty}^{\infty} f_X(x)\,dx = 1.
Aqui o suporte é 0<x<\kappa, então a condição fica
Avaliando de 0 a \kappa:\int_{0}^{\kappa}\frac{x}{2}\,dx = \left.\frac{x^{2}}{4}\right|_{0}^{\kappa} = \frac{\kappa^{2}}{4}-0=\frac{\kappa^{2}}{4}.
Impor a condição de normalização \dfrac{\kappa^{2}}{4}=1 e resolver para \kappa:\frac{\kappa^{2}}{4}=1 \quad\Rightarrow\quad \kappa^{2}=4 \quad\Rightarrow\quad \kappa=2,tomando a raiz positiva porque o suporte é 0<x<\kappa com \kappa>0.
Passo 4
Verificação rápida (opcional, mas didático): com \kappa=2, a densidade de X fica \dfrac{x}{2} em 0<x<2. Podemos conferir que integra 1:
Também é útil notar que a densidade de Y dada já está normalizada: \int_{0}^{2}\dfrac{y^{3}}{4}\,dy=1 (pode verificar da mesma forma).
Passo 5
Agora escrever a densidade conjunta f_{X,Y}(x,y). Se não há informação de dependência entre X e Y, a hipótese usual (e necessária para escrever uma forma simples da conjunta) é que X e Y são independentes. Para variáveis contínuas independentes valem:
f_{X,Y}(x,y)=f_X(x)\,f_Y(y)
no produto dos suportes. Vou adotar essa hipótese porque o enunciado não fornece nenhuma relação de dependência entre X e Y.
Passo 6
Multiplicar as densidades marginais (com \kappa=2) para obter a conjunta e explicitar o suporte.
Para 0<x<2 e 0<y<2:f_{X,Y}(x,y)=\frac{x}{2}\cdot\frac{y^{3}}{4}=\frac{x\,y^{3}}{8}.
Fora desse retângulo do suporte (i.e. se x\le0 ou x\ge2 ou y\le0 ou y\ge2), a densidade conjunta vale 0.
Podemos checar rapidamente a normalização da conjunta usando fatorização:\iint f_{X,Y}(x,y)\,dx\,dy=\left(\int_{0}^{2}\frac{x}{2}\,dx\right)\left(\int_{0}^{2}\frac{y^{3}}{4}\,dy\right)=1\cdot1=1,o que confirma que a função conjunta está corretamente normalizada quando assumimos independência.