Seja
uma curva parametrizada regular
de modo que
Determine as possíveis formas de
.
Passo 1
O enunciado dá uma curva
, de classe
e regular (isto é,
para todo
), que satisfaz a equação diferencial vetorial
O conteúdo aqui é resolução de uma EDO linear homogênea de primeira ordem em
.
Passo 2
Usamos fator integrante ou resolvemos coordenada a coordenada. Se
, então
Cada uma é EDO do tipo
, cuja solução geral é
. Logo existe um vetor constante
tal que
Passo 3
Para
ser regular, requeremos
para todo
. Mas
e
nunca se anula. Logo
se e somente se
. O caso
dá a curva constante nula, não regular, e deve ser excluído.
Resposta
As soluções regulares são