Seja \theta: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}^{2} uma curva parametrizada regular C^{1} de modo que
\theta^{\prime}(t)=-3 \cdot \theta(t) \text { para todo, } t \in \mathbb{R}
Determine as possíveis formas de \theta.

Passo 1

O enunciado dá uma curva \theta\colon \mathbb{R}\to\mathbb{R}^2, de classe C^1 e regular (isto é, \theta'(t)\neq0 para todo t), que satisfaz a equação diferencial vetorial
\theta'(t) = -3\,\theta(t).
O conteúdo aqui é resolução de uma EDO linear homogênea de primeira ordem em \mathbb{R}^2.

Passo 2

Usamos fator integrante ou resolvemos coordenada a coordenada. Se \theta(t)=(x(t),y(t)), então
x'(t)=-3x(t),\quad y'(t)=-3y(t).
Cada uma é EDO do tipo u'=-3u, cuja solução geral é u(t)=C\,e^{-3t}. Logo existe um vetor constante C=(c_{1},c_{2}) tal que
\theta(t)=\bigl(c_{1}e^{-3t},\,c_{2}e^{-3t}\bigr)=C\,e^{-3t}.

Passo 3

Para \theta ser regular, requeremos \theta'(t)\neq0 para todo t. Mas
\theta'(t)=-3\,C\,e^{-3t},
e e^{-3t} nunca se anula. Logo \theta'(t)\neq0 se e somente se C\neq(0,0). O caso C=(0,0) dá a curva constante nula, não regular, e deve ser excluído.

Resposta

As soluções regulares são
\theta(t)=C\,e^{-3t},\quad C\in\mathbb{R}^2\setminus\{(0,0)\}.

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