Elabore, mas não calcule, uma integral para a área de elipseide x^{2} / a^{2}+y^{2} / b^{2}+z^{2} / e^{2}=4

Passo 1

O enunciado pede a área de superfície do elipsoide
\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{e^{2}}=4.
Para isso vamos usar integral de superfície via parametrização: se X(u,v) é uma parametrização da superfície, então
A=\iint_{D}\bigl\lvert X_{u}\times X_{v}\bigr\rvert\,du\,dv.

Passo 2

Escolhemos coordenadas (\varphi,\theta)\in[0,\pi]\times[0,2\pi] e a parametrização
X(\varphi,\theta)=\bigl(2a\sin\varphi\cos\theta,\;2b\sin\varphi\sin\theta,\;2e\cos\varphi\bigr).

Passo 3

Calculamos os vetores tangentes e o módulo do produto vetorial. O resultado é
\bigl\lvert\partial_{\varphi}X\times\partial_{\theta}X\bigr\rvert =4\,\sin\varphi\, \sqrt{\,e^{2}\sin^{2}\varphi\,(b^{2}\cos^{2}\theta+a^{2}\sin^{2}\theta) \;+\;a^{2}b^{2}\cos^{2}\varphi\,}.

Passo 4

Portanto a área do elipsoide fica
A =\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{\pi} 4\,\sin\varphi\, \sqrt{\,e^{2}\sin^{2}\varphi\,(b^{2}\cos^{2}\theta+a^{2}\sin^{2}\theta) \;+\;a^{2}b^{2}\cos^{2}\varphi\,} \;d\varphi\,d\theta.

Resposta

A integral que dá a área do elipsoide é
A =\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{\pi} 4\,\sin\varphi\, \sqrt{\,e^{2}\sin^{2}\varphi\,(b^{2}\cos^{2}\theta+a^{2}\sin^{2}\theta) \;+\;a^{2}b^{2}\cos^{2}\varphi\,} \;d\varphi\,d\theta.

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