- Dizemos que uma sequência complexa
é exponencialmente limitada se existirem
tais que
, para todo
. Mostre que toda sequência complexa expoencialmente limitada é
-transformável.
Passo 1
A sequência dada é $a_n$_{n\in\mathbb{N}}\) e sabemos que ela é exponencialmente limitada, ou seja existem constantes \ M, c>0 \ tais que \ |a_n|\le M c^n \ para todo n. Precisamos mostrar que sua transformada de Z, definida pela série \ $
converge (absolutamente) em alguma região de z, ou seja que a sequência é Z-transformável.
Passo 2
Para verificar a convergência da série de potências, vamos usar o critério da raiz. Lembrando que uma série \ \sum x_n\ converge absolutamente se \
\sqrt[n]{|a_n z^{-n}|} =\sqrt[n]{|a_n|}\;\cdot|z|^{-1}.$$
Passo 3
Como \ |a_n|\le M c^n, temos \ \sqrt[n]{|a_n|}\le\sqrt[n]{M}\;c.\ Como \lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{M}=1, segue que \ \limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|}\le c.\ Portanto, \limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n z^{-n}|}\le c\;|z|^{-1}.
Passo 4
Para que a série converja, precisamos de \limsup\sqrt[n]{|a_n z^{-n}|}<1, ou seja \ c\;|z|^{-1}<1 $equivalente a |z|>c$. Assim, para qualquer \ z\in\mathbb{C} com |z|>c, a série \sum_{n=0}^{\infty}a_n z^{-n}\ convergirá absolutamente, garantindo que a sequência é Z-transformável.
Resposta
A série da transformada de Z converge absolutamente para |z|>c, logo toda sequência exponencialmente limitada é Z-transformável, com região de convergência |z|>c.