1. Considere os subespaços de \mathbb{K}^{\circ} :
\begin{array}{c} U=\left\{\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right) \in \mathbb{R}^{3}: x_{1}+3 x_{2}+x_{3}=0 \mathrm{e}-4 x_{1}-9 x_{2}+2 x_{3}=0\right\} \\\ W=\left\{\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right) \in \mathbb{R}^{3}:-3 x_{2}-6 x_{3}=0\right\} . \end{array}
Determine a base e a dimensão de U \cap W.

Passo 1

O enunciado dá os subespaços U e W de \mathbb{R}^3 e pede a base e a dimensão de U\cap W. Vou listar claramente as informações fornecidas:
  • U=\{(x_1,x_2,x_3)\in\mathbb{R}^3 : x_1+3x_2+x_3=0 \text{ e } -4x_1-9x_2+2x_3=0\}.
  • W=\{(x_1,x_2,x_3)\in\mathbb{R}^3 : -3x_2-6x_3=0\}.
O que é pedido:
  • Determinar uma base de U\cap W.
  • Determinar \dim(U\cap W).

Passo 2

Interpretação e estratégia (curta explicação didática). Um vetor (x_1,x_2,x_3) pertence a U\cap W exatamente quando satisfaz as três equações simultaneamente (as duas de U e a de W). Assim podemos resolver o sistema homogêneo formado por:
\begin{cases} x_1+3x_2+x_3=0,\\[4pt] -4x_1-9x_2+2x_3=0,\\[4pt] -3x_2-6x_3=0. \end{cases}
Método: como é um sistema linear homogêneo em três incógnitas, vamos resolver por substituição/eliminação para escrever todas as soluções em forma paramétrica. Essa forma paramétrica nos dará um gerador do subespaço; então veremos quantos vetores independentes aparecem (a dimensão) e escolhemos uma base.]

Passo 3

Simplificar a equação de W. A equação de W é -3x_2-6x_3=0. Dividindo por -3 (que é permitido porque não é zero) obtemos a forma mais simples:
x_2+2x_3=0.
Dessa igualdade podemos expressar x_2 em função de x_3. Seja t\in\mathbb{R} o parâmetro que usaremos para x_3. Então
x_2=-2x_3=-2t.

Passo 4

Substituir x_2=-2t nas equações de U e resolver para x_1 e x_3.
Primeira equação de U:
x_1+3x_2+x_3=0 \quad\Rightarrow\quad x_1+3(-2t)+t=0.
Calcule passo a passo:
x_1-6t+t=0 \quad\Rightarrow\quad x_1-5t=0 \quad\Rightarrow\quad x_1=5t.
Segunda equação de U:
-4x_1-9x_2+2x_3=0.
Substituindo x_1=5t e x_2=-2t e x_3=t:
-4(5t)-9(-2t)+2t = -20t +18t +2t =0.
O resultado é 0=0, ou seja, a segunda equação fica satisfeita automaticamente após as substituições — ela não impõe restrição adicional independente.

Passo 5

Escrever a solução geral do sistema (descrição do subespaço U\cap W) e interpretar.
Dos passos anteriores temos que, para qualquer t\in\mathbb{R},
x_1=5t,\qquad x_2=-2t,\qquad x_3=t.
Portanto todo vetor em U\cap W tem a forma
( x_1,x_2,x_3 ) = t\,(5,-2,1),\qquad t\in\mathbb{R}.
Geometricamente, isso mostra que U\cap W é uma linha através da origem (subespaço unidimensional) gerada pelo vetor (5,-2,1).

Passo 6

Verificar independência linear e concluir base e dimensão (explicação didática). A coleção com um único vetor \{(5,-2,1)\} é linearmente independente desde que o vetor não seja o vetor nulo — e claramente (5,-2,1)\neq(0,0,0). Além disso, como todo vetor do U\cap W é múltiplo de (5,-2,1), esse conjunto gera U\cap W. Logo é uma base do subespaço.
Como a base tem exatamente um vetor, a dimensão é 1.

Resposta

A base escolhida: \{(5,-2,1)\}
\dim(U\cap W)=1

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