Interpretação e estratégia (curta explicação didática). Um vetor (x_1,x_2,x_3) pertence a U\cap W exatamente quando satisfaz as três equações simultaneamente (as duas de U e a de W). Assim podemos resolver o sistema homogêneo formado por:
Método: como é um sistema linear homogêneo em três incógnitas, vamos resolver por substituição/eliminação para escrever todas as soluções em forma paramétrica. Essa forma paramétrica nos dará um gerador do subespaço; então veremos quantos vetores independentes aparecem (a dimensão) e escolhemos uma base.]
Passo 3
Simplificar a equação de W. A equação de W é -3x_2-6x_3=0. Dividindo por -3 (que é permitido porque não é zero) obtemos a forma mais simples:
x_2+2x_3=0.
Dessa igualdade podemos expressar x_2 em função de x_3. Seja t\in\mathbb{R} o parâmetro que usaremos para x_3. Então
x_2=-2x_3=-2t.
Passo 4
Substituir x_2=-2t nas equações de U e resolver para x_1 e x_3.
Geometricamente, isso mostra que U\cap W é uma linha através da origem (subespaço unidimensional) gerada pelo vetor (5,-2,1).
Passo 6
Verificar independência linear e concluir base e dimensão (explicação didática). A coleção com um único vetor \{(5,-2,1)\} é linearmente independente desde que o vetor não seja o vetor nulo — e claramente (5,-2,1)\neq(0,0,0). Além disso, como todo vetor do U\cap W é múltiplo de (5,-2,1), esse conjunto gera U\cap W. Logo é uma base do subespaço.
Como a base tem exatamente um vetor, a dimensão é 1.