1. Seja S um subconjunto de M(2,2), definido por S=\left\{\left[\begin{array}{ll}a & b \\\ c & d\end{array}\right]: b=a+c\right. e \left.d=c\right\}.
(c) Encontre um conjunto de vetores que gera S;

Passo 1

O enunciado dá o conjunto S de matrizes 2\times2 definido por
S=\left\{\begin{pmatrix}a & b\\[4pt] c & d\end{pmatrix}\in M(2,2)\\ :\\ b=a+c\\ \text{e}\\ d=c\right\}.
A pergunta (parte (c)) é: encontrar um conjunto de vetores (matrizes) que gera S.
Informações relevantes dadas:
  • As entradas a,b,c,d são números reais (ou do corpo considerado) sujeitos às duas restrições b=a+c e d=c.
  • Quer-se um conjunto de matrizes cujas combinações lineares produzem exatamente todos os elementos de S.]

Passo 2

Interpretar as restrições e escrever a forma geral de um elemento de S.
As restrições dizem que, para qualquer matriz em S, tem-se b=a+c e d=c. Substituindo essas relações numa matriz genérica obtemos a forma paramétrica, usando a e c como parâmetros livres:
\begin{pmatrix}a & b\\[4pt] c & d\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}a & a+c\\[4pt] c & c\end{pmatrix},
onde a e c são quaisquer escalares. Aqui estou apenas reescrevendo a condição do enunciado de forma que fique explícito quais entradas dependem de quais parâmetros.]

Passo 3

Separar a dependência linear em termos de a e c.
A matriz \begin{pmatrix}a & a+c\\[4pt] c & c\end{pmatrix} pode ser escrita como soma de duas partes, uma com a e outra com c:
\begin{pmatrix}a & a+c\\[4pt] c & c\end{pmatrix} = a\begin{pmatrix}1 & 1\\[4pt] 0 & 0\end{pmatrix} + c\begin{pmatrix}0 & 1\\[4pt] 1 & 1\end{pmatrix}.
Explicando: multiplica-se a primeira matriz pelo escalar a e a segunda pelo escalar c; ao somá-las obtem-se exatamente as quatro entradas desejadas.]

Passo 4

Interpretar o que isso significa em termos de gerar o espaço.
A escrita do passo anterior mostra que toda matriz de S é combinação linear das duas matrizes
A=\begin{pmatrix}1 & 1\\[4pt] 0 & 0\end{pmatrix} \qquad\text{e}\qquad B=\begin{pmatrix}0 & 1\\[4pt] 1 & 1\end{pmatrix}.
Portanto \{A,B\} gera S, isto é,
S=\operatorname{span}\{A,B\}.
Breve comentário didático: “gerar” significa que qualquer elemento de S pode ser obtido por combinação linear aA+cB com apropriados escalares a,c. Aqui a e c são exatamente os parâmetros livres que descrevem S.]

Passo 5

Verificação rápida (opcional, mas útil em prova): as matrizes [A) e B são linearmente independentes, logo formam uma base de S.
Se \alpha A+\beta B=0 (matriz zero), então analisando entradas obtém-se o sistema
\begin{cases} \alpha = 0 &\text{(posição (1,1))},\\[4pt] \alpha+\beta = 0 &\text{(posição (1,2))},\\[4pt] \beta = 0 &\text{(posição (2,1))}. \end{cases}çãçãçã
Dessas equações segue \alpha=0\] e \(\beta=0, logo são independentes. Assim \{A,B\} é um conjunto gerador minimal (base) de S e \dim S=2.]

Resposta

\displaystyle S=\operatorname{span}\left\{\begin{pmatrix}1 & 1\\[4pt] 0 & 0\end{pmatrix},\;\begin{pmatrix}0 & 1\\[4pt] 1 & 1\end{pmatrix}\right\}]

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