A pergunta (parte (c)) é: encontrar um conjunto de vetores (matrizes) que gera S.
Informações relevantes dadas:
As entradas a,b,c,d são números reais (ou do corpo considerado) sujeitos às duas restrições b=a+c e d=c.
Quer-se um conjunto de matrizes cujas combinações lineares produzem exatamente todos os elementos de S.]
Passo 2
Interpretar as restrições e escrever a forma geral de um elemento de S.
As restrições dizem que, para qualquer matriz em S, tem-se b=a+c e d=c. Substituindo essas relações numa matriz genérica obtemos a forma paramétrica, usando a e c como parâmetros livres:
\begin{pmatrix}a & b\\[4pt] c & d\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}a & a+c\\[4pt] c & c\end{pmatrix},
onde a e c são quaisquer escalares. Aqui estou apenas reescrevendo a condição do enunciado de forma que fique explícito quais entradas dependem de quais parâmetros.]
Passo 3
Separar a dependência linear em termos de a e c.
A matriz \begin{pmatrix}a & a+c\\[4pt] c & c\end{pmatrix} pode ser escrita como soma de duas partes, uma com a e outra com c:
Breve comentário didático: “gerar” significa que qualquer elemento de S pode ser obtido por combinação linear aA+cB com apropriados escalares a,c. Aqui a e c são exatamente os parâmetros livres que descrevem S.]
Passo 5
Verificação rápida (opcional, mas útil em prova): as matrizes [A) e B são linearmente independentes, logo formam uma base de S.
Se \alpha A+\beta B=0 (matriz zero), então analisando entradas obtém-se o sistema