Exercício 2. Em cada item, indique se a matriz B está ou na forma escalonada e/ou na forma escalonada reduzida. Em caso negativo para alguma das duas situações, indique todas as condições da definição (vide video da aula síncrona sobre o assunto ou veja no livro de Colombo e Koiller) que não são satisfeitas.
B=\left[\begin{array}{llll}0 & 0 & 0 & 0 \\\\ 0 & 0 & 0 & 0 \\\\ 0 & 0 & 0 & 0\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a matriz
B = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 0\\\\ 0 & 0 & 0 & 0\\\\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}
está em forma escalonada (REF) e/ou em forma escalonada reduzida (RREF).
Para isso, lembro as definições:
Definição de forma escalonada (REF):
1. Todas as linhas nulas estão abaixo das linhas não nulas.
2. O primeiro elemento não nulo (pivô) de cada linha não nula aparece sempre à direita do pivô da linha anterior.
3. Todos os elementos abaixo de cada pivô são zeros.
Definição de forma escalonada reduzida (RREF): é uma REF que satisfaz ainda:
4. Cada pivô vale \,1.
5. Cada pivô é o único elemento não nulo em sua coluna.

Passo 2

Verificando REF em B:
– Não há nenhuma linha não nula em B.
– Condição 1: “todas as linhas nulas abaixo das não nulas” vale vacuamente, pois não existem linhas não nulas.
– Condição 2: “pivôs à direita dos pivôs acima” vale vacuamente, pois não há pivôs.
– Condição 3: “zeros abaixo de cada pivô” vale vacuamente, pois não há pivôs.
Logo, B satisfaz todas as condições de REF.

Passo 3

Verificando RREF em B:
Como B já está em REF, analisamos as condições extras:
– Condição 4: “cada pivô vale 1” vale vacuamente, pois não há pivôs.
– Condição 5: “cada pivô é o único não zero em sua coluna” vale vacuamente, pois não há pivôs.
Portanto, B também satisfaz todas as condições de RREF.

Resposta

A matriz B está simultaneamente em forma escalonada e em forma escalonada reduzida. Não há nenhuma condição da definição que deixe de ser satisfeita.

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