Seja
o espaço vetorial das matrizes reais
e considere os seguintes subconjuntos:
Lembrar que se
, então o traço de
é o valor
.
Mostrar que
é subespaço vetorial de
.
Mostrar que
Passo 1
O enunciado define
onde, se
, então
. Queremos mostrar que
é um subespaço vetorial de
. Para isso, vamos usar o critério padrão de subespaço:
- Mostrar que a matriz zero pertence a
. - Mostrar que
é fechado para soma. - Mostrar que
é fechado para multiplicação por escalar.
Passo 2
Verificar que a matriz zero
pertence a
.
Como , temos . Logo,
.]
Como , temos
Passo 3
Fechamento sob soma. Sejam
. Então
Como o traço é linear,
Portanto
.
Passo 4
Fechamento sob escalar. Seja
e
. Como
, temos
Logo
.