Seja
o espaço vetorial das matrizes reais
e considere os seguintes subconjuntos:
Lembrar que se
, então o traço de
é o valor
.
Mostrar que
não é subespaço vetorial de
.
Mostrar que
Passo 1
O enunciado define
,
ou seja, o conjunto das matrizes idempotentes. Para mostrar que não é subespaço, basta verificar que ele falha em pelo menos uma das propriedades de subespaço: fechamento em adição ou fechamento em multiplicação escalar.
ou seja, o conjunto das matrizes idempotentes. Para mostrar que
Passo 2
Observe que a matriz identidade
pertence a , pois
pertence a
Passo 3
Agora considere a multiplicação escalar de
por
. Defina
Então
Então
logo
.]
Passo 4
Achamos uma matriz
cujo múltiplo escalar por
não está em
. Isso mostra que
não é fechado sob multiplicação por escalar, e portanto não é subespaço vetorial de
.