Seja M_{2 \times 2}(\mathbb{R}) o espaço vetorial das matrizes reais 2 \times 2 e considere os seguintes subconjuntos:
U=\left\{A \in M_{2 \times 2}(\mathbb{R}): \operatorname{tr} A=0\right\}, \quad W=\left\{A \in M_{2 \times 2}(\mathbb{R}): A^{2}=A\right\}
Lembrar que se A=\left(\begin{array}{ll}a & b \\\ c & d\end{array}\right), então o traço de A é o valor a+d.
Mostrar que W não é subespaço vetorial de M_{2 \times 2}(\mathbb{R}).

Passo 1

O enunciado define \displaystyle W=\{A\in M_{2\times2}(\mathbb{R}) : A^2 = A\},
ou seja, o conjunto das matrizes idempotentes. Para mostrar que W não é subespaço, basta verificar que ele falha em pelo menos uma das propriedades de subespaço: fechamento em adição ou fechamento em multiplicação escalar.

Passo 2

Observe que a matriz identidade \displaystyle I=\begin{pmatrix}1 & 0\\[6pt]0 & 1\end{pmatrix}
pertence a W, pois
I^2 = I\cdot I = I.]

Passo 3

Agora considere a multiplicação escalar de I por \displaystyle 2. Defina \displaystyle B = 2\,I = \begin{pmatrix}2 & 0\\[6pt]0 & 2\end{pmatrix}.
Então
B^2 = (2I)^2 = 4\,I \neq 2\,I = B,
logo B\notin W.]

Passo 4

Achamos uma matriz I\in W cujo múltiplo escalar por 2 não está em W. Isso mostra que W não é fechado sob multiplicação por escalar, e portanto não é subespaço vetorial de M_{2\times2}(\mathbb{R}).

Resposta

W não é subespaço vetorial de M_{2\times2}(\mathbb{R}).

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