Considere duas transformações, \mathbf{T} e \mathbf{S} :
\mathbf{T}: \mathbb{R}^{5} \longrightarrow \mathbb{R}^{5} \text { com }
\text { I) } \mathbf{T}(1,0,0,0,0)=(1,0,0,0,0), \text { II) } \mathbf{T}(0,2,0,0,0)=(2,2,0,0,0)
III) \mathbf{T}(0,0,3,0,0)=(3,3,3,0,0), \mathbf{I V}) \mathbf{T}(0,0,0,4,0)=(4,4,4,4,0), \mathbf{V}) \mathbf{T}(0,0,0,0,5)=(5,5,5,5,5)
\begin{array}{lclc} \mathbf{S}: & \mathbb{R}^{5} & \longrightarrow & \mathbb{R}^{4} \\\ & (\mathbf{x}, \mathbf{y}, \mathbf{z}, \mathbf{w}, \mathbf{t}) & \longmapsto\left(\mathbf{x}, \sqrt[3]{\mathbf{x}^{3}+\mathbf{y}^{3}+\mathbf{z}^{3}+\mathbf{w}^{3}}, \sqrt[3]{\mathbf{x} \cdot \mathbf{y} \cdot \mathbf{z}}, \sqrt[5]{\mathbf{x} \cdot \mathbf{y} \cdot \mathbf{z} \cdot \mathbf{w} \cdot \mathbf{t}}\right) \end{array}
a) (0.75) Sabendo \mathbf{T} é linear, determine \mathbf{T}\left(\mathbf{x}_{1}, \mathbf{x}_{2}, \mathbf{x}_{3}, \mathbf{x}_{4}, \mathbf{x}_{5}\right).
b) (0.75) Verificar que \mathbf{S} não é uma transformação linear usando a caracterização : \mathbf{S} \overrightarrow{\mathbf{v}}=\mathbf{A} \cdot \overrightarrow{\mathbf{v}}
c) (0.75) Verificar que \mathbf{S} não é uma transformação linear pela definição .
d) (0.75) Calcular o núcleo de \mathbf{T}: \mathbf{N u c}(\mathbf{T}).
e) (0.75) Calcular a imagem de \mathbf{T}: \mathbf{I m}(\mathbf{T}).
f) (0.75) Verificar se \mathbf{T} é injetiva .
g) (0.5) Verificar se \mathbf{T} é sobrejetiva .
h) (0.5) Determine \mathbf{T}^{-1}, se existir .
i) (1.0) Determinar uma base para \operatorname{Nuc}(\mathbf{T}) e \operatorname{Im}(\mathbf{T}).
j) (1.0) Determinar [\mathbf{T}]_{\beta}^{\alpha}, \operatorname{com} \alpha=\{(1,0,0,0,0),(0,2,0,0,0),(0,0,3,0,0),(0,0,0,4,0),(0,0,0,0,5)\} e \beta=\{(1,0,0,0,0),(0,1,0,0,0),(0,0,1,0,0),(0,0,0,1,0),(0,0,0,0,1)\}

Passo 1

O enunciado nos dá duas aplicações em espaços de dimensão 5 (e 4) e várias propriedades a verificar. O conteúdo principal é transformações lineares em \mathbb{R}^n:
  • Para \mathbf{T}:\mathbb{R}^5\to\mathbb{R}^5 precisamos usar linearidade, achar a fórmula geral, núcleo, imagem, testar injeção/sobrejeção, inversa e bases;
  • Para \mathbf{S}:\mathbb{R}^5\to\mathbb{R}^4 precisamos mostrar que não é linear, tanto pela não existência de matriz associada quanto pela falha nas propriedades de aditividade/homogeneidade.

Passo 2

A linearidade de \mathbf{T} implica
\mathbf{T}(x_1,\dots,x_5) =\sum_{i=1}^5 x_i\,\mathbf{T}(e_i).
Dos dados:
\mathbf{T}(1,0,0,0,0)=\mathbf{T}(e_1)=(1,0,0,0,0),
\mathbf{T}(0,2,0,0,0)=2\,\mathbf{T}(e_2)=(2,2,0,0,0)\;\Rightarrow\;\mathbf{T}(e_2)=(1,1,0,0,0),
\mathbf{T}(0,0,3,0,0)=3\,\mathbf{T}(e_3)=(3,3,3,0,0)\;\Rightarrow\;\mathbf{T}(e_3)=(1,1,1,0,0),
\mathbf{T}(0,0,0,4,0)=4\,\mathbf{T}(e_4)=(4,4,4,4,0)\;\Rightarrow\;\mathbf{T}(e_4)=(1,1,1,1,0),
\mathbf{T}(0,0,0,0,5)=5\,\mathbf{T}(e_5)=(5,5,5,5,5)\;\Rightarrow\;\mathbf{T}(e_5)=(1,1,1,1,1).
Logo
\mathbf{T}(x_1,x_2,x_3,x_4,x_5) =\bigl(x_1+x_2+x_3+x_4+x_5,\; x_2+x_3+x_4+x_5,\; x_3+x_4+x_5,\; x_4+x_5,\; x_5\bigr).

Passo 3

Para haver \mathbf{S}(\mathbf{v})=\mathbf{A}\mathbf{v} toda coordenada de \mathbf{S} teria de ser uma combinação linear de (x,y,z,w,t). Mas a 2ª coordenada é \sqrt[3]{x^3+y^3+z^3+w^3},
que não é linear em x,y,z,w. Portanto não existe matriz \mathbf{A} tal que \mathbf{S}(\mathbf{v})=\mathbf{A}\mathbf{v}.

Passo 4

Pela definição, se \mathbf{S} fosse linear teríamos \mathbf{S}(v+w)=\mathbf{S}(v)+\mathbf{S}(w).
Escolha v=(1,0,0,0,0), w=(0,1,0,0,0).
Então
\mathbf{S}(v+w)=\mathbf{S}(1,1,0,0,0) =\Bigl(1,\sqrt[3]{1+1},0,0\Bigr) =(1,2^{1/3},0,0),
enquanto
\mathbf{S}(v)+\mathbf{S}(w) =(1,1,0,0)+(0,1,0,0) =(1,2,0,0).
Como 2^{1/3}\neq2, falha aditividade, logo \mathbf{S} não é linear.

Passo 5

O núcleo de \mathbf{T}\) é a solução de \(\mathbf{T}(x)=0\), i.e. \[\begin{cases} x_1+x_2+x_3+x_4+x_5=0,\\\ x_2+x_3+x_4+x_5=0,\\\ x_3+x_4+x_5=0,\\\ x_4+x_5=0,\\\ x_5=0. \end{cases}
Retro-substituindo dá x_5=0,x_4=0,x_3=0,x_2=0,x_1=0\]. Assim \(\ker(\mathbf{T})=\{0\}.

Passo 6

Como \dim\ker(\mathbf{T})=0 e \dim\mathbb{R}^5=5, por Teorema da Dimensão \dim\operatorname{Im}(\mathbf{T})=5. Logo \operatorname{Im}(\mathbf{T})=\mathbb{R}^5.
Isto implica que \mathbf{T} é injetiva (núcleo trivial) e, por terem domínios e codomínios de mesma dimensão, também é sobrejetiva.
Para achar \mathbf{T}^{-1}, resolvemos
y_1=x_1+x_2+x_3+x_4+x_5,\; y_2=x_2+x_3+x_4+x_5,\dots,y_5=x_5.
Dai
x_5=y_5,\; x_4=y_4-y_5,\; x_3=y_3-y_4,\; x_2=y_2-y_3,\; x_1=y_1-y_2.

Passo 7

Uma base de \ker(\mathbf{T}) é vazia (apenas o vetor zero).
Como \operatorname{Im}(\mathbf{T})=\mathbb{R}^5, uma base pode ser os vetores-padrão \{(1,0,0,0,0),\dots,(0,0,0,0,1)\}
ou as imagens \{\mathbf{T}(e_i)\}, que também são independente e geram.

Passo 8

Para \alpha=\{v_1,\dots,v_5\} com v_1=(1,0,0,0,0),v_2=(0,2,0,0,0),\dots,v_5=(0,0,0,0,5)
e \beta=\{e_1,\dots,e_5\}, as colunas de [\mathbf{T}]_{\beta}^{\alpha} são \mathbf{T}(v_i) escritas em \beta:
[\mathbf{T}]_{\beta}^{\alpha} =\begin{pmatrix} 1&2&3&4&5\\\\ 0&2&3&4&5\\\\ 0&0&3&4&5\\\\ 0&0&0&4&5\\\\ 0&0&0&0&5 \end{pmatrix}.

Resposta

(a) \displaystyle \mathbf{T}(x_1,x_2,x_3,x_4,x_5) =\bigl(x_1+x_2+x_3+x_4+x_5,\;x_2+x_3+x_4+x_5,\;x_3+x_4+x_5,\;x_4+x_5,\;x_5\bigr).
(b) \mathbf{S} não é linear pois a 2ª coordenada \sqrt[3]{x^3+y^3+z^3+w^3} não é combinação linear de (x,y,z,w,t).
(c) Pela definição, escolhendo v=(1,0,0,0,0), w=(0,1,0,0,0), obtém-se \mathbf{S}(v+w)\neq\mathbf{S}(v)+\mathbf{S}(w).
(d) \ker(\mathbf{T})=\{0\}.
(e) \operatorname{Im}(\mathbf{T})=\mathbb{R}^5.
(f) \mathbf{T} é injetiva (núcleo trivial).
(g) \mathbf{T} é sobrejetiva (dimensões iguais e imagem inteira).
(h) \displaystyle \mathbf{T}^{-1}(y_1,y_2,y_3,y_4,y_5) =(y_1-y_2,\;y_2-y_3,\;y_3-y_4,\;y_4-y_5,\;y_5).
(i) Base de \ker(\mathbf{T}): \varnothing. Base de \operatorname{Im}(\mathbf{T}): \{(1,0,0,0,0),\dots,(0,0,0,0,1)\}.
(j) \displaystyle [\mathbf{T}]_{\beta}^{\alpha} =\begin{pmatrix} 1&2&3&4&5\\\\ 0&2&3&4&5\\\\ 0&0&3&4&5\\\\ 0&0&0&4&5\\\\ 0&0&0&0&5 \end{pmatrix}.

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