Seja uma matriz que possui um autovalor real e 2 autovalores complexos conjugados, e . Sejam os autovetores associados aos respectivos autovalores.
(a) Mostre que .
(b) Na base formada pelos autovetores a matriz possui a representação diagonal
Considere os vetores q1=v1, q2=Re(v2) e q3=Im(v2), formados pelas partes real e imaginária de um dos autovetores complexos de A. Mostre que a representação de A na base formada por q1, q2, q3 é dada por
Note que a matriz é real. Esta forma é conhecida como modal e permite uma representação bloco diagonal real para qualquer matriz quadrada A .
Dicas. Note que Re(x)=12(x+x^*) e Im(x)=-j2(x-x^*). Alternativamente pode usar o fato de que
O enunciado trata da diagonalização de uma matriz real AinR^3times3 que tem um autovalor real lambda1=a e um par de autovalores complexos conjugados lambda2=sigma+jomega, lambda3=sigma-jomega, com autovetores v1,v2,v3. Depois de mostrar que v3=v2^* e que, na base v1,v2,v3, a matriz vira diagonal
bar A= a&0&0 0&sigma+jomega&0 0&0&sigma-jomega ,
definimos vetores reais
q1=v1, q2=Re(v2), q3=Im(v2)
e mostramos que, nesta base real q1,q2,q3, a representação de A é
tilde A= a&0&0 0&sigma&omega 0&-omega&sigma
Passo 2
Como A é real, toma–se conjugado de Av2=lambda2v2: