Seja A in R^3 times 3 uma matriz que possui um autovalor real lambda1=a e 2 autovalores complexos conjugados, lambda2=sigma+j omega e lambda3=lambda2^*. Sejam v1, v2, v3 os autovetores associados aos respectivos autovalores.
(a) Mostre que v3=v2^*.
(b) Na base formada pelos autovetores v1, v2, v3 a matriz possui a representação diagonal
barA=[ccc a & 0 & 0 0 & sigma+j omega & 0 0 & 0 & sigma-j omega ]
Considere os vetores q1=v1, q2=Re(v2) e q3=Im(v2), formados pelas partes real e imaginária de um dos autovetores complexos de A. Mostre que a representação de A na base formada por q1, q2, q3 é dada por
tildeA=[ccc a & 0 & 0 0 & sigma & omega 0 & -omega & sigma ]
Note que a matriz é real. Esta forma é conhecida como modal e permite uma representação bloco diagonal real para qualquer matriz quadrada A .
Dicas. Note que Re(x)=12(x+x^*) e Im(x)=-j2(x-x^*). Alternativamente pode usar o fato de que
[lll q1 & q2 & q3 ]=[lll v1 & v2 & v3 ][ccc 1 & 0 & 0 0 & 1 / 2 & -j / 2 0 & 1 / 2 & j / 2 ]

Passo 1

O enunciado trata da diagonalização de uma matriz real AinR^3times3 que tem um autovalor real lambda1=a e um par de autovalores complexos conjugados lambda2=sigma+jomega, lambda3=sigma-jomega, com autovetores v1,v2,v3. Depois de mostrar que v3=v2^* e que, na base v1,v2,v3, a matriz vira diagonal
bar A= a&0&0 0&sigma+jomega&0 0&0&sigma-jomega ,
definimos vetores reais
q1=v1, q2=Re(v2), q3=Im(v2)
e mostramos que, nesta base real q1,q2,q3, a representação de A é
tilde A= a&0&0 0&sigma&omega 0&-omega&sigma

Passo 2

Como A é real, toma–se conjugado de Av2=lambda2v2:
A,v2^*=(A,v2)^*=(lambda2v2)^* =lambda2^*,v2^* =lambda3,v2^*
Logo v2^* é autovetor de lambda3. Como o autovetor associado a lambda3 é único a escalar não-zero, podemos escolher
v3=v2^*

Passo 3

Na base v1,v2,v3 a matriz de passagem ,V=[v1;v2;v3] diagonaliza A:
V^-1AV =diag(lambda1,lambda2,lambda3) = a&0&0 0&sigma+jomega&0 0&0&sigma-jomega =bar A

Passo 4

Definimos
q2=Re(v2)=v2+v2^*2, q3=Im(v2)=v2-v2^*2j
Usando A,v2=lambda2v2 e A,v2^*=lambda2^*v2^*, obtém-se
A,q2 =A,v2+A,v2^*2 =lambda2v2+lambda2^*v2^*2 =sigma,q2-omega,q3,
A,q3 =A,v2-A,v2^*2j =lambda2v2-lambda2^*v2^*2j =omega,q2+sigma,q3

Passo 5

Juntando q1=v1 (para o autovalor real a) com os resultados acima, vemos que na base q1,q2,q3 temos
A,q1=a,q1, A,q2=sigma,q2-omega,q3, A,q3=omega,q2+sigma,q3
Portanto a matriz de representação real é
tilde A = a&0&0 0&sigma&omega 0&-omega&sigma

Resposta

(a) v3=v2^*
(b) Na base v1,v2,v3:
bar A = a&0&0 0&sigma+jomega&0 0&0&sigma-jomega ,
e na base real q1,q2,q3:
tilde A = a&0&0 0&sigma&omega 0&-omega&sigma

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